Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Применение определенного интеграла для нахождения площадей различных фигур.Стр 1 из 3Следующая ⇒
На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые ограничены осью абсцисс (Ox), отрезками прямых x = a, x = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) для значений "икса", принадлежащих отрезку [a, b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Площадь s этой криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле (1). Итак, определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) по [a, b] (график функции расположен выше оси Ox) численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a, b], ограниченной сверху графиком функции y = f(x). В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла. Рисунки таких фигур - в примерах. Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле . (2) Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле . (3) Таким образом, вычисление площадей плоских фигур - одна из важнейших прикладных задач, в которой определённый интеграл находит наиболее плодотворное применение. Все мы изучали сведения из элементарной геометрии, которые позволяют вычислять площади прямолинейных фигур - прямоугольников, треугольников и многоугольников. Что же касается криволинейных фигур, то здесь для нахождения площади средств из элементарной геометрии уже недостаточно. Итак, к делу. Учимся применять то, что изложено в самом верху этой статьи. Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1). Пример 1.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямыми x = 1, x = 3. Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1): . Пример 2.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс (Ox). Решение. Результат применения формулы (1): Если то s = 1/2; если то s = 1/3, и т.д. Пример 3.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямой x = 4. Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции: . Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти. Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OABпределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим: Пример 5.Найти площадь криволинейной трапеции ACDB, если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2. Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1): . Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2). Пример 6.Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс (Ox). Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы и точек пересечения параболы с осью Ox. Следовательно, Пример 7.Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox) и двумя соседними волнами синусоиды. Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2): . Найдём отдельно каждое слагаемое: . . Окончательно находим площадь: . Пример 8.Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой . Решение. Выразим уравнения линий через игрек: Площадь по формуле (2) получим как , где a и b - абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения: Отсюда Окончательно находим площадь: И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3). Первый из этих примеров предлагается решить самостоятельно, а затем можно посмотреть правильное решение. Пример 9.Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Посмотреть правильное решение и ответ. Пример 10.Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и прямыми и . Решение. Так как на отрезке [0, 2], то, используя для нахождения площади формулу (3), получим Пример 11.Найти площадь фигуры, заключённой между параболами Решение. Требуется вычислить площадь фигуры AmBn, у которой боковые отрезки выродились в точки A и B пересечения парабол. Решая совместно (как систему) уравнения парабол, находим их абсциссы: и . На отрезке [-1, 5]получаем . Следовательно, по формуле (3) находим площадь фигуры: Пример 12.Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и прямой . Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой: и . Так как на отрезке [0, 4], то по формуле (3) находим площадь фигуры:
37.Понятие о дифференциальных уравнениях. Их виды. Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x)). Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество. ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ. Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X. Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x, при которых и искомая функция y, и исходное уравнение имеют смысл. Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения. Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения . Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений. Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения. Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1соответственно. Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1, является . Действительно, и .
38. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными . Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными. Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него. Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны. Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде. Пример. Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными . Решение. Проинтегрируем обе части равенства: . По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных: Мы пришли к неявно заданной функции , которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, , где . То есть, функция является общим решением исходного дифференциального уравнения. Замечание. Ответ можно записать в любом из трех видов или , или . Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Прежде чем продолжить, напомним, что когда y является функцией аргумента x. В дифференциальных уравнениях или переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как . При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f2(y) и g1(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения. Разберемся с этим на примере. Пример. Найти все решения дифференциального уравнения . Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить xи y: Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество , поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду. Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными : В преобразованиях мы заменили C2 - C1 на С. Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции . На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства: Ответ: .
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-10; просмотров: 263. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |