Интегралы, сводящиеся к интегрированию рациональных дробей.

Рациональной функцией  будем называть функцию, при вычислении которой используются следующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень.

    Интегралы вида .

Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей заменой переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

    .

Полученное выражение является рациональной дробью.

Задача.   Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен  - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.                            

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

Тогда =

Подставляя , получаем              =

Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен  - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.                            

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

    Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

Тогда

=

=

=

=

=

Подставляя , получаем

         = .

Задача.   Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

=.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен  - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.     

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

    Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

Тогда

.

Подставляя , получаем

= .

Интегралы вида .

Данный неопределенный интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби по следующей схеме.

 Обозначим через  - наименьшее общее кратное чисел . (На всякий случай напомним, что наименьшим общим кратным для некоторого множества целых чисел называется такое наименьшее целое число, которое делится без остатка на все числа данного множества.)

Сделаем замену переменной . Тогда .

После указанной замены подынтегральное выражение превращается в рациональную дробь.

    Рассмотрим примеры.

Задача.   Найти .

       Подынтегральная функция содержит  и .

Наименьшим целым числом, которое делится на 2 и на 3 является число 6.

Сделаем замену , . Тогда . Напомним, что

. Следовательно , .

Тогда

.

Выражение, стоящее под знаком интеграла является неправильной рациональной дробью. Следовательно, его можно представить как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

Имеем

    Следовательно

Подставляя , получаем

    = .

Задача.   Найти

    Сделаем замену переменной . Тогда , , . Тогда получаем

.

Подставляя , получаем окончательный ответ

.

Интегралы вида .

        Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей путем следующей замены (так называемая «универсальная тригонометрическая подстановка»). Обозначим . Тогда , .

    Из школьного курса тригонометрии известны формулы выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла. На всякий случай мы напомним эти формулы. Итак:

. .

Такая подстановка приводит вычисление исходного интеграла к интегрированию рациональной дроби.

Задача.   Найти .

       Сделаем замену переменной . Тогда

= .

Таким образом:

= .

Задача.   Найти .

    Используя замену , получаем

.

То есть .

    Рассмотрим еще один класс интегралов – интегралы вида .

Поскольку , то данный тип интегралов можно вычислять, используя универсальную тригонометрическую подстановку. Однако существует замена переменной, которая позволяет вычислить этот интеграл более просто. Такой заменой является . Тогда , . После такой подстановки вычисление интеграла сводится к интегрированию рациональной дроби.

Задача.   Найти .

Сначала убедимся, что данный интеграл действительно относится к указанному типу. Для этого преобразуем данное выражение

.

Выражение  является правильной рациональной дробью и может быть разложено в сумму простейших рациональных дробей. Имеем

После приведения к общему знаменателю в правой и левой частях получаем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений

Решая эту систему, получаем

.

Следовательно

=

=

= .

Получаем = .

Задача.   Найти

После замены переменной  получаем

= .

Следовательно

= .

    Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащих выражения , , .

    В этих случая полезны следующие подстановки.

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Задача.   Найти .

Сделаем замену . Тогда .

Следовательно

= .

Получаем = .

Задача.   Найти .

Сделаем замену . Тогда , .

Следовательно

= .

    Получаем .

    Найти .

Сделаем замену . Тогда ,

.

Следовательно

= .

Получаем .

Интегралы вида .

Напомним некоторые формулы тригонометрии:

;

;

.

Задача.   Найти .

Решение.

= .

Задача.   Найти .

Решение.

= .

Задача.   Найти .

Решение.

= .

Интегралы вида .

        Рассмотрим два случая вычисления таких интегралов.

Первый случай – это когда, по крайней мере, один из показателей степени  или является нечетным числом. Будем считать для определенности  нечетным числом, то есть . Обозначим . Следовательно .

Тогда

= .

        Полученное подынтегральное выражение является многочленом и его интегрирование не вызовет затруднений.

Задача.   Найти .

Пусть . Тогда .

Имеем

=

.

Задача.   Найти .

Пусть . Тогда .

Имеем

= .

Второй случай – оба показателя степени  и являются четными числами.

    В этом случае для понижения степени используются формулы

; .

Задача.   Найти .

Решение.

=

=

=

=

= .

Таким образом = .

Замечания:

    - при вычислении  мы воспользовались формулой двойного угла ;

    - при вычислении  мы воспользовались правилом интегрирования в случае, когда, по крайне мере, одна из степеней нечетная.

Задача.   Найти .

Решение.

=

=

= .

Получаем = .