Интегрирование рациональных дробей.

Напомним, что рациональной дробью называется выражение вида:

, где  - многочлены степени  и соответственно.

Дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

    Известно, что всякая неправильная ( )дробь может быть представлена в виде

= , где  - многочлен соответствующей степени, а - правильная рациональная дробь.

Поскольку проблема интегрирования многочлена не представляет серьезных трудностей, то основной вопрос – это интегрирование правильных рациональных дробей.

    Простейшими рациональными дробями называются следующие выражения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где в последних двух выражениях    .

    Известна теорема о том, что всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.

Поясним вид такого представления.

Пусть имеется правильная рациональная дробь .

Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных и квадратных множителей.

Предположим, что

Где  - целые числа,

Тогда дробь может быть представлена в виде

.

Методы определения коэффициентов разложения будут рассмотрены на конкретных примерах.

    Приведем схему интегрирования простейших дробей.

1.

2.

3. Схема вычисления интегралов вида  была изложена ранее.

4.Рассмотрим схему вычисления интегралов вида .

Выделив полный квадрат, представим квадратный трехчлен в виде

. Поскольку , то обозначим . Сделаем замену переменной .

Тогда имеем

.

Вычислим каждый интеграл отдельно.

Рассмотрим схему вычисления второго интеграла . Обозначим . Его вычисление при не представляет трудностей, поскольку он является табличным интегралом .

Далее наш метод состоит в том, чтобы получить рекуррентное соотношение, которое позволяет сводить вычисление  к вычислению .

    Преобразуем интеграл к виду

Это соотношение перепишем в виде

Для вычисления интеграла в правой части используем формулу интегрирования по частям. Обозначим:

, . Тогда , .

Получаем

Таким образом .

Задача.   Найти .

Используя полученное рекуррентное соотношение, получаем

= .

Используем еще один раз рекуррентное соотношение.

 Тогда

=

Вычисление последнего интеграла не представляет трудностей. Следовательно

=

Далее приведем примеры интегрирования рациональных дробей.

Задача.   Найти

    Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен  - знаменателю в левой части выражения и приравняем числители в правой и левой частях.  Получим

.                  (1)     

В соотношении (1) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

    Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости решать систему уравнений, поскольку неизвестные коэффициенты можно определить более простым путем. Равенство (1) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений . Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим

, .

Подставляя , имеем

, .

Подстановка дает

, .

Следовательно

.

Тогда

=

= .

Ответ: =

Задача.  Найти

Поскольку дробь правильная, то представим ее в виде суммы простейших дробей вида

.

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

.                                                  (2)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости полностью решать систему уравнений, поскольку часть неизвестных коэффициентов можно определить более простым путем. Равенство (2) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений . Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим

, .

Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим

, .

Из первого уравнения системы находим

.

Тогда

.

Следовательно

=

=

Ответ: = .

Задача.   Найти

Разложим это выражение на простейшие дроби

.

Определяем коэффициенты

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

Часть коэффициентов определим независимым путем.

Полагая , ,  получаем

, ;

, ;

, .

Тогда .

Следовательно

=

=

Ответ:

Задача.   Найти .

    Подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Представим его в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Для этого используем схему деления многочлена на многочлен

_
				+1
_

Следовательно

=

Полученную правильную рациональную дробь  представим в виде суммы простейших дробей

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , имеем систему уравнений

Решением этой системы являются: ; С=2.

Тогда =

= .

Ответ: = .

Задача.   Найти .

Правильную рациональную дробь  представим в виде суммы простейших дробей

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений

Коэффициент А можно найти непосредственно подстановкой  в исходное уравнение.     Получаем

, то есть .

Тогда

= =

= =

=

= =

= =

= .

Ответ: .