Использование замены переменной

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

Неопределенный интеграл (решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2005

Составитель: к.ф.м.н., доцент Выборнов А.Н..

В пособии рассмотрены основные типы неопределенных интегралов и приведены методы их вычисления. Пособие составлено на основе пособия МГУПИ для заочного отделения (авторы: Баланкина Е.С., Головешкин В.А., Каримова Н.А., Меренкова Т.В., Соркина Л.И., Якобовская И.М.). Составителем  переработано изложение теоретических положений и некоторых методов решения задач. Пособие может использоваться как дополнительное пособие по развитию навыков решения задач.

                   НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ       

Прежде чем перейти к решению конкретных задач напомним некоторые понятия из теоретического курса.

Функция  называется первообразной для функции , если выполнено соотношение .

Если некоторая функция является первообразной для функции , то функция , где С – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции .

Вся совокупность первообразных для функции  может быть записана в виде , где  - некоторая конкретная первообразная, а С – произвольная постоянная величина.

Любая первообразная для данной функции  называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Принято писать = ,где  - некоторая конкретная первообразная, а С – произвольная постоянная величина. Таким образом, неопределенный интеграл определяется с точностью до произвольной постоянной.

    Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Следовательно, проблема интегрирования функции сводится к нахождению некоторой конкретной первообразной. Отметим также, что можно очень просто проверить, правильно ли вычислен неопределенный интеграл. Для этого достаточно в выражении =  вычислитьпроизводную от правой части  и убедиться, что она равна подынтегральной функции .

        Прежде чем перейти к свойствам неопределенного интеграла, приведем таблицу некоторых основных интегралов от элементарных функций, которые мы в дальнейшем будем называть табличными интегралами.

Табличные интегралы.

1. .

2. .

3.  (при ).

4. .

5.  ( ), в частности .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Все решаемые в данном пособии задачи мы будем сводить к вычислению табличных интегралов.

    Напомним некоторые свойства неопределенного интеграла.

1. Согласно определению неопределенного интеграла его производная равна подынтегральной функции, то есть .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .

3.Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .

4. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .

Следующие свойства интегралов вытекает из соответствующих свойств производных.

5. Неопределенный интеграл от суммы (или разности) двух функций равен сумме (или, соответственно, разности) неопределенных интегралов от этих функций:   .

.

6.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: .

7. Из формулы производной произведения вытекает

Формула интегрирования по частям:

8.Из формулы производной сложной функции вытекает формула:

(Замена переменной в неопределенном интеграле  )        

Эту формулу используют как слева направо, так и справа налево.

1)справа налево:

    Например, пусть требуется вычислить  и по каким-то причинам нам удобно сделать замену переменной в виде , где  - новая независимая переменная. Тогда . При этом, конечно, предполагаем, что после вычисления интеграла в правой части мы подставим вместо , выражение  через  из соотношения  (функция  должна быть обратима).

2)слева направо:

Например, пусть нам известно, что . Требуется вычислить интеграл вида . Тогда .

Рассмотрим примеры.

Использование замены переменной

Задача.  Найти

Решение:

Обозначим . Тогда для дифференциала данной функции имеем выражение . Следовательно

Подставляя в исходное выражение, получаем

.

    Иногда не вводят обозначение для новой переменной, а все выражение для новой переменной через старую используют как ее имя, записывая это выражение под знаком дифференциала. Это и называют «подведением под знак дифференциала». В рассмотренном примере: , мы можем записать .

Задача. Найти .  

Решение:

Обозначим . Тогда . Следовательно, .

Получаем

.

Задача. Найти

Решение: 

Обозначим . Тогда . Следовательно, .

Получаем

.

    Вычисление интегралов вида .

    Метод вычисления таких интегралов изложим на примере:

Задача. Найти

Решение:

Выделим полный квадрат в знаменателе:

.

Сделаем замену . Тогда , .

В первом интеграле сделаем замену: .

Тогда . Второй интеграл табличный.

 Получаем:

Ответ: .

Задача.  Найти

Ответ: .

Задача. Найти

Ответ: = .

Вычисление интегралов вида .

Технология здесь аналогична рассмотренной в предыдущем случае.

Задача.Найти .

Решение:

    Выделим полный квадрат в подкоренном выражении в знаменателе: , сделаем замену .

 Получаем

В первом интеграле сделаем замену: .

Тогда . Второй интеграл табличный.

.

Ответ: .

Задача.   Найти

Указание:

Выделите полный квадрат в знаменателе: .

Ответ: .