ЗАДАНИЕ 1. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

ВВЕДЕНИЕ

Курс ''Теоретические основы электротехники" занимает основное место среди фундаментальных дисциплин, определяющих теоретический уровень профессиональной подготовки бакалавров электротехнических специальностей.

Целью изучения является получение теоретических и практических знаний законов электрических цепей и электромагнитных полей.

Задача изучения состоит в выработке умения рационального применения методов расчета линейных и нелинейных цепей с источниками различной формы сигнала.

Дисциплина ТОЭ базируется на курсах физики и математики.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи, - М: Высш. школа, 2000. - 528 с.

2. Зевеке Г.В., Ионкин ПА., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. - М: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле.. - М.: Высш. школа, 1982. - 320 с.

4. Атабеков П. И. Теоретические основы электротехники. Ч. 1, ч. 2. - М.: Энергия, 1970.

Дополнительная:

1. 1. Нейман Л. Р., Дамерчан К. С. Теоретические основы электротехники. Т. 1, т. 2. -М.: Энергия, 1974 г.

2.  Бессонов Л. А. и др. Сборник задач по теоретическим основам электротехники. - М.: Высш. школа, 1980. - 472 с.

3. Задачник по теоретическим основам электротехники Под ред. Поливанова. - М.: Энергия, 1973. - 304 с.

4. Шебес М. Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. - М.: Высш. школа, 1973. - 452 с.

5. Прянишников В.А., Петров Е.А., Осипов Ю.М. Электротехника и ТОЭ впримерах и задачах: практическое пособие. – С-Пб.: КОРОНА принт, 2001.- 336 с.

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Студенты, изучающие дисциплину с полным сроком обучения, выполняют контрольную работу следующим образом: ТОЭ-1 - задания 1,2,3 (1 семестр изучения), ТОЭ-2 - задания 4,5 (2 семестр изучения). Студенты, изучающие дисциплину с сокращенным сроком обучения, выполняют задания 1, 3,4.

ЗАДАНИЕ 1. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Задание:

Для обобщенной цепи, приведенной на рис. 1.1, требуется выполнить следующее:

1) пользуясь данными табл. 1.1, составить расчетную схему электрической цепи;

2) записать систему уравнений Кирхгофа, необходимых для определения токов во всех ветвях схемы;

3) выполнить расчет схемы методом контурных токов и найти токи во всех ветвях;

4) выделить в схеме три сопротивления, включенные по схеме «треугольник», и заменить их эквивалентным соединением по схеме «звезда»;

5) рассчитать полученную схему методом узловых напряжений и найти токи в ветвях;

6) определить ток в сопротивлении R₆  по методу эквивалентного генератора;

7) рассчитать напряжение между точками А и В схемы;

8) составить баланс мощностей для исходной схемы.

Рис. 1.1. Обобщенная схема цепи

Таблица 1.1

Пример. Для электрической цепи, схема которой изображена на рис.1.2, выполнить расчет по условиям задания. Дополнительно построить потенциальную диаграмму для внешнего контура цепи. Параметры элементов схемы имеют следующие значения: E₁ =30 B; E₂ =16 B; E₃ =10 B; R₁=2 Ом; R₂=5 Ом; R₃=3 Ом; R₄=1 Ом; R₅=8 Ом; R₆=5 Ом;

Примечание. При расчете схемы внутренние сопротивления источников напряжения считать равными нулю, т.е. полагать источники идеальными.

Рис.1.2.

Решение. При расчете схемы будем придерживаться порядка, указанного в задании.

1. Выберем направления токов в ветвях и составим уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов 1, 2, 3, которые укажем на схеме рис.1.2:

Выберем три независимых контура 1, 2, 3, и укажем на рис. 1.2 направление их обхода. Составим для этих контуров уравнения по второму закону Кирхгофа:

2. Выполним расчет цепи по методу контурных токов. При расчете цепи по методу контурных токов вначале нужно составить уравнения и определить значения контурных сопротивлений и напряжений источников. Если в схеме содержатся источники тока, то их предварительно нужно заменить эквивалентными источниками напряжения. Расчетная схема для метода контурных токов приведена на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Уравнения контурных токов для этой схемы имеют вид:

где R₁₁=R₁+R₂+R₄=2+5+1=8 Ом;

R₂₂=R₂+R₃+R₅=5+3+8=16 Ом;

R₃₃=R₄+R₅+R₆=1+8+5=14 Ом;

R₁₂=R₂₁ =R₂=5 Ом; R₂₃=R₃₂ =R₅=8 Ом; R₁₃=R₃₁ =R₄=1 Ом;

E₁₁=E₁-E₂=30-16 = 14 B; E₂₂=E₂-E₃=16-10 = 6 B; E₃₃=0.

После подстановки значений контурных сопротивлений и напряжений источников получим систему контурных уравнений:

Вычислим контурные токи, пользуясь этими уравнениями:

где определители контурных уравнений имеют значения:

Подставив значения определителей, вычислим значения контурных токов:

I₁₁=2708/834=3,247A; I₂₂=1758/834=2,108A; I₃₃=1198/834=1,436A.

Используя значения контурных токов, найдем токи в ветвях цепи:

I₁= I₁₁=3,247 A;    I₂= I₁₁-I₂₂=3,247-2,108=1,139 A;

I₃= -I₂₂= -2,108 A; I₄= I₃₃-I₁₁=1,436-3,247= -1,811 A;

I₅= I₃₃-I₂₂=1,436-2,108= -0,672 A;     I₆= I₃₃=1,436 A;

Примечание. Правильность полученного решения можно легко проверить подстановкой найденных токов в уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

3. Упростим схему, заменив соединения сопротивления R_4, R₅, R₆ на эквивалентное соединения соединение сопротивлений звездой. Схема, полученная после преобразования, приведена на рис. 1.4. В этой схеме сопротивления преобразованных ветвей имеют следующие значения:

4. Выполним расчет преобразованной схемы методом узловых напряжений. В полученной схеме имеются только два узла, поэтому для нее можно составить только одно уравнение по методу узловых напряжений:

G₁₁U₁₁=J₁₁,

где U₁₁ – узловые напряжения;

G₁₁ =(R₁+R₄₆)^-1+(R₂+R₄₅)^-1+(R₃+R₅₆)^-1=0.744 1/Ом – узловая проводимость;

J₁₁=E₁/(R₁+R₄₆)+E₂/(R₂+R₄₅)+E₃/(R₃+R₅₆)=30/2,357+16/5,571+10/5,857=

=17,307А – узловой ток источников.

Подставив значение узловой проводимости G₁₁ и узлового тока J₁₁, найдем узловое напряжение:

U₁₁=J₁₁/G₁₁=17,307/0,774 = 22,360 B.

Используя значение узлового напряжения, найдем токи в ветвях:

Сравнение результатов расчета I₁, I₂, I₃, методами узловых напряжений и контурных токов показало их полное совпадение, что подтверждает корректность решения задачи.

5. Определим ток в сопротивлении R₆, пользуясь методом эквивалентного генератора. Для этого будем считать, что сопротивление R₆ является нагрузкой; исключим его, разорвав ветвь, в которой оно было включено, как показано на рис. 5а. Затем для полученной схемы найдем напряжение U_xx холостого хода и ее входное сопротивление R_вх между зажимами подключения нагрузки (т. е. сопротивления R₆). В результате схема сводится к цепи, которая изображена на рис. 1.5б.

Рис.1.5 .

Найдем токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 1.5.а. Для этого воспользуемся методом контурных токов. Уравнения цепи, составленные по методу контурных токов, имеют вид:

где R₁₁=R₁+ R₂+ R₄=8 Ом; R₂₂=R₂+ R₃+ R₅=16 Ом; R₁₂=R₂₁= =R₂=5 Ом;

E₁₁=E₁- E₂=14 B; E₂₂=E₂- E₃=6 B.

Подставив значения сопротивлений и напряжений, получим систему уравнений:

В результате решения этой системы уравнений находим токи  

где    

Подставив значения определителей, найдем токи в ветвях цепи:

I₁₁ = 254/103 = 2,466 A;  I₂₂ = 118/103 = 1,146 A;

Теперь можно найти напряжение U_хх на зажимах подключения нагрузки:

U_xx = I₁₁R₄+ I₂₂R₅=11,634 B.

Для определения входного сопротивления R_BX необходимо исключить из схемы источники напряжения, заменив их перемычками, как показано на рис. 1.6,а.

При расчете входного сопротивления произведем замену треугольника сопротивлений R₁ R₂ R₄  эквивалентной звездой, как показано на рис. 1.6,б. Значения сопротивлений эквивалентной звезды найдем по формулам:

R₁₂=R₁R₂/(R₁ + R₂ + R₄)=1,25 Ом;

R₂₄=R₂R₄/(R₁ + R₂ + R₄)=0,625 Ом;

R₁₄=R₁R₂/(R₁ + R₂ + R₄)=0,25 Ом;

Расчет входного сопротивления выполним по схеме, изображенной на рис. 1.6,б:

R_вх=R₁₄ +(R₁₂ +R₃ )(R₂₄ +R₅ )/(R₁₂ + R₃ + R₂₄ +R₅)=3,097 Ом;

В заключении найдем ток в сопротивлении R₆;

I₆=U_xx/(R_BX + R₆ )=1,436 A;

Этот результат точно совпадает со значением тока I₆, полученным ранее по методу контурных токов, что подтверждает правильность выполненного расчета.

6. Определим напряжение между точками А и В схемы, используя выполненные выше расчеты. Для расчета напряжения U_AB составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, который показан штриховой линией на рис. 1.2:

U_АВ=I₄R₄+I₁R₁+E₂=0;

Из этого уравнения находим напряжение

U_АВ= -E₂-I₁R₁-I₄R₄ ;

Подставим найденные ранее значения токов, получим:

U_АВ= -16-3.247*2-1.811=-24.305 В ;

Таким образом, напряжение между узлами А и В имеет в действительности направление, противоположное обозначенному на схеме рис. 1.2.

7. Составим баланс мощностей для исходной схемы, изображенной на рис. 1.2. При составлении баланса мощностей учтем, что мощность, потребляемая всеми элементами цепи, должна быть равна мощности, которую отдают источники энергии. Однако возможна такая ситуация, при которой ток в каком-либо источнике имеет направление, противоположное напряжению этого источника. В этом случае источник не отдает энергию во внешнюю цепь, а, наоборот, потребляет ее. Как указывалось выше, такое положение может иметь место, например, при зарядке аккумулятора.

 При составлении баланса мощностей найдем вначале мощности источников напряжения:

P_ист=E₁I₁+ E₂I₂+ E₃I₃=30*3.247-16*1.139-10*2.108=58.1 Вт.

 Из этого уравнения следует, что мощность в цепь отдает только источник E₁, а два других источника E₂ и E₃ ее потребляют.

Теперь найдем мощность, которую потребляют сопротивления цепи:

P_R=R₁I₁²+ R₂I₂₂²+ R₃I₃₂²+ R₄I₄₂²+ R₅I₅₂²+ R₆I₆₂²=58.1 Вт.

Таким образом, можно считать, что баланс мощностей выполняется, так как P_ист= P_R.