Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Средняя ошибка аппроксимации.
Другой показатель качества построенной модели –– среднее относительное отклонение расчетных значений от фактических или средняя ошибка аппроксимации: . Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значение не превышает 10% – 12% .
Пример. По 21 региону страны изучается зависимость розничной продажи телевизоров ( ) от среднедушевого денежного дохода в месяц ( ).
Необходимо найти зависимость, наилучшим образом отражающую связь между переменными и . Рассмотрим вопрос применения модели линейной регрессии в этой задаче. Построим поле корреляции, т.е. нанесем исходные данные на координатную плоскость. Для этого воспользуемся, например, возможностями MS Excel 2003. Подготовим таблицу исходных данных.
Нанесем на координатную плоскость исходные данные:
Характер расположения точек на графике дает нам основание предположить, что искомая функция регрессии линейная: . Для оценки коэффициентов уравнения регрессии необходимо составить и решить систему нормальных уравнений ( ).
По исходным данным рассчитываем необходимые суммы:
Составляем систему уравнений: Имеем систему линейных алгебраических уравнений, которая может быть решена, например, по формулам Крамера. Для этого вычислим следующие определители: Тогда, согласно теореме Крамера,
Получаем уравнение регрессии: Величина коэффициента регрессии означает, что увеличение среднедушевого месячного дохода на 1 тыс. руб. приведет к увеличение объема розничной продажи в среднем на 7 540 телевизоров. Коэффициент в данном случае не имеет содержательной интерпретации.
Оценим тесноту линейной связи между переменными и качество построенной модели в целом. Для оценки тесноты линейной зависимости рассчитаем коэффициент детерминации. Для этого необходимо провести ряд дополнительных вычислений.
Прежде всего, найдем выборочное среднее по формуле: . Для рассматриваемого примера имеем: Теперь произведем расчет остальных вспомогательных величин:
Здесь столбец « » – это значения , рассчитанные с помощью построенного уравнения регрессии, столбцы « » и – это столбцы, так называемых, «остатков»: разностей между исходными значениями , и рассчитанными с помощью уравнения регрессии , а также их квадратов, а в последних двух столбцах – разности между исходными значениями , выборочным средним , а также их квадраты. Для вычисления коэффициента детерминации воспользуемся формулой ( ):
Значение коэффициента детерминации позволяет сделать предварительный вывод о том, что у нас имеются основания использовать модель линейной регрессии в данной задаче, поскольку . Построим линию регрессии на корреляционном поле, для чего добавим на координатной плоскости точки, соответствующие уравнению регрессии ( ).
Нанесем теперь уравнение регрессии на диаграмму, используя специальные средства Excel. Для этого необходимо выделить правой кнопкой мыши исходные точки и выбрать опцию Добавить линию тренда.
В открывшемся меню Параметры линии тренда выбрать Линейную аппроксимацию. Далее поставить флажок напротив полей Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации .
Нажав на ОК, получаем еще одну прямую на диаграмме, которая совпадает с построенными ранее точками линии регрессии:
Сплошная черная линия на диаграмме – это линия регрессии, рассчитанная средствами Excel. Линия регрессии, построенная нами ранее, совпала с данной линией регрессии. Нетрудно убедиться, что уравнение регрессии и коэффициент детерминации тоже совпадают с полученными ранее вручную.
Найдем теперь среднюю ошибку аппроксимации для оценки погрешности модели. Для этого нам потребуется вычислить еще ряд промежуточных величин:
Здесь столбец « » – это значения , рассчитанные с помощью построенного уравнения регрессии, столбец « » – это столбец так называемых «остатков»: разностей между исходными значениями , и рассчитанными с помощью уравнения регрессии , и, наконец, последний столбец « » – это вспомогательный столбец для вычисления элементов суммы по формуле ( ). Просуммируем теперь элементы последнего столбца и разделим полученную сумму на 21 – общее количество исходных данных: . Переведем это число в проценты и запишем окончательное выражение для средней ошибки аппроксимации: . Итак, средняя ошибка аппроксимации оказалась около 8%, что говорит о небольшой погрешности построенной модели. Данную модель, с учетом неплохих характеристик ее качества, вполне можно использовать для прогноза – одной из основных целей эконометрического анализа. Предположим, что среднедушевой месячный доход в одном из регионов составит 4,1 тыс. руб. Оценим, каков будет уровень продаж телевизоров в этом регионе согласно построенной модели? Для этого необходимо выбранное значение фактора подставить в уравнение регрессии ( ): (тыс. руб.), т.е. при таком уровне дохода, розничная продажа телевизоров составит, в среднем, 35 480 телевизоров.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-10; просмотров: 310. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |