Фукция распределения случайных величин

Для описания закона распределения случайной величины Х возможен и другой подход: рассматривать не вероятности событий  для разных х, а вероятности события , где х – текущая переменная. Вероятность  очевидно, зависит от х, т.е. является некоторой функцией от х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, строго меньшее х, т.е.

                            .                                 (40)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка  Х попадет левее заданной точки х (рис. 6).

              Рис. 6

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равна вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции .

Общие свойства функции распределения

1. .

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна 0, на плюс бесконечности равна 1, т.е. и .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал  равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

Теоретические вопросы

1. Какая величина называется дискретной? Приведите примеры.

2. Чем можно задать дискретную случайную величину?

3. Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете?

4. По каким формулам вычисляются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные теоретические моменты?

5. Что называется функцией распределения дискретной случайной величины?

6. Назовите свойства функции распределения?

ЗАНЯТИЕ 7.

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Сведения из теории

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

    Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения вероятностей.

    Функцией распределения непрерывной случайной величины называется непрерывно дифференцируемая функция действительной переменной х, определяемая равенством

Основные свойства функции распределения

1. .

2. Функция распределения – неубывающая функция: если .

3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a;b) , то  при ,  при .

4. Функция  в точке  непрерывна слева, т.е.

5. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат бесконечному интервалу , то  и .

Введем понятие плотности вероятности непрерывной случайной величины (другое задание непрерывной случайной величины).

Плотностью вероятности (плоскостью распределения или просто плотностью)  непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения, т.е.

.                                        (41)         

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение с плотностью  на определенном участке оси ОХ.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения.

Свойства плотности вероятности

1.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал  равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b, т.е.

  .                                (42)

3. Функция распределения непрерывной случайной величины X может быть выражена через плотность вероятности по формуле:  

.                                       (43)

4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины Х равен 1, т.е.

.                                        (44)

Геометрические свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения лежит не ниже оси ОХ, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения с осью ОХ, равна 1.