ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ.

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЙ СОБЫТИЯ

Сведения из теории

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном комплексе условий, в которых представляет интерес вероятность числа m наступлений некоторого события A в n испытаниях.

Если вероятность наступления события A в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно событияA. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события A в каждом испытании одна и та же. Описанная последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Теорема.Если вероятность p наступления события A в каждом испытание постоянна, то вероятность того, что событие A наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

,                                    (24)

где .

    Задача 3.1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможности числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение:

    Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли.

    Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами  Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон распределения вероятностей (рис. 4).

                  Рис. 4

    В частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие A наступит:

а) хотя бы один раз – равна

б) менее k раз – равна

в) более k раз – равна

г) не менее k раз – равна

д) не более k раз – равна

    Число  называется наивероятнейшим числом наступлений события A (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если  для всех m = 0,1,2,…,n.  Если вероятности p и q отличны от нуля, то число  определяется из двойного неравенства

.                                 (25)

Теоретические вопросы

1. При каких условиях используют формулу Бернулли?

2. Повторные испытания: формула Бернулли.

3. По какой формуле вычисляют вероятность появления события А хотя бы один раз в n независимых испытаниях?

4. По какой формуле вычисляют вероятность появления события А более k раз в n независимых испытаниях?

5. По какой формуле вычисляют вероятность появления события А менее k раз в n независимых испытаниях?

6. По какой формуле вычисляют вероятность появления события А не менее k раз в n независимых испытаниях?

7. По какой формуле вычисляют вероятность появления события А неболее k раз в n независимых испытаниях?

ЗАНЯТИЕ 4.

ТЕОРЕМА ПУАССОНА.

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА

Сведения из теории

Если число испытаний n достаточно велико, то непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами p и q – числа дробные. Поэтому существуют более простые приближенные формулы для вычисления  при больших  n. Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа.

Теорема Пуассона. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании стремится к нулю  при неограниченном увеличении числа n испытаний , причем произведение  стремится к постоянному числу , то вероятность  того, что событие A появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

.                                  (26)

Доказательство:

По формуле Бернулли или, учитывая, что , т.е. при достаточно больших  n,   и

Так как

и

, то .

Если вероятность p – постоянна и мала, число испытаний n – велико и число  – незначительно (будем полагать, что ), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона

.                              (27)

Замечание 4.1Для вычисления факториалов больших чисел, используют формулу Стирлинга .

Локальная теорема Муавра-Лапласа.Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие  А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна

,                             (28)

где  – функция Гаусса,  

.

Чем больше n, тем точнее приближенная формула (28).

Приближенные значения вероятности  даваемые локальной формулой (28), на практике используются как точные при  порядка двух и более десятков, т.е. при условии

Свойства функции Гаусса

1. Функция  является четной, т.е. .

2. Функция  – монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при , .

Нужно учитывать данные свойства при применении таблицы значений функции .

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

,             (29)

где   – функция Лапласа (или интеграл вероятностей),

,   .

Формула (29) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула.

Замечание 4.2При выполнении условия  формула (29) дает удовлетворительную погрешность вычисления вероятностей.

Замечание 4.3Функция  табулирована.

Свойства функцииЛапласа

1. Функция  нечетная, т.е. .

2. Функция  монотонно возрастающая, причем при ,  (практически можно считать, что уже при ).

Рассмотрим следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события A отличается от произведения  не более чем на величину   (по абсолютной величине), т.е.

.                           (30)

б) частность  события A заключена в пределах от  до , т.е.

,                      (31)

          .                        (32)

в) частность  события A отличается от его вероятности p не более чем на величину  (по абсолютной величине), т.е.

                    .                  (33)

Теоретические вопросы

1. Какие формулы называются асимптотическими?

2. Приближенная формула Пуассона (доказательство).

3. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

5. Функция Гаусса и ее свойства.

6. Функция Лапласа и ее свойства.

7. Следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

ЗАНЯТИЕ 5.