Турбулентное течение жидкости в трубах

Хаотичное, неупорядоченное движение жидких частиц существенным образом влияет на характеристики турбулентных течений. Эти течения жидкости – неустановившиеся. Благодаря этому в каждой точке пространства скорости изменяются с течением времени. Мгновенное значение скорости  можно выразить:

                                   (2.42)

где  – осредненная по времени скорость по направлению x,  – пульсационная скорость по этому же направлению. Обычно осредненная скорость сохраняет во времени постоянное значение и направление, поэтому такое течение нужно принимать как среднеустановившееся. Когда рассматривается профиль скоростей турбулентного течения для какой-либо области, обычно рассматривают профиль осредненной скорости.

Рассмотрим поведение турбулентного потока жидкости около твердой стенки (рис. 2.17).

Рис. 2.17. Распределение скорости около твердой стенки

В ядре потока за счет пульсационных скоростей происходит непрерывное перемешивание жидкости. У твердых стенок поперечные движения частиц жидкости невозможны.

Около твердой стенки жидкость течет в ламинарном режиме.
Между ламинарным пограничным слоем и ядром потока существует переходная зона.

Движение жидкости при турбулентном режиме всегда сопровождается значительно большей затратой энергии, чем при ламинарном. При ламинарном режиме энергия расходуется на вязкое трение между слоями жидкости; при турбулентном же режиме, помимо этого, значительная часть энергии затрачивается на процесс перемешивания, вызывающий в жидкости дополнительные касательные напряжения.

Для определения напряжения сил трения в турбулентном потоке используется формула:

                                        (2.43)

где  – напряжение вязкого течения,  – турбулентное напряжение, вызванное перемешиванием. Как известно,  определяется законом вязкого трения Ньютона:

Следуя полуэмпирической теории турбулентности Прандтля, принимая, что величина поперечных пульсаций скорости имеет в среднем один и тот же порядок, что и продольные пульсации, можно записать:

.                                  (2.45)

Здесь r – плотность жидкости, l – длина пути перемешивания,  – градиент осредненной скорости.

Величина l, характеризующая средний путь пробега частиц жидкости в поперечном направлении, обусловлена турбулентными пульсациями.
По гипотезе Прандтля, длина пути перемешивания l пропорциональна расстоянию частицы от стенки:

                                          (2.46)

где c – универсальная постоянная Прандтля.

В турбулентном потоке в трубе толщина гидродинамического пограничного слоя растет значительно быстрее, чем для ламинарного.
Это приводит к уменьшению длины начального участка. В инженерной практике обычно принимают:

                                (2.47)

Поэтому довольно часто влиянием начального участка
на гидродинамические характеристики потока пренебрегают.

Далее рассмотрим стабилизированный участок горизонтальной круглой трубы.

Рассмотрим распределение осредненной скорости по сечению трубы. Примем касательное напряжение в турбулентном потоке  постоянным
и равным напряжению в стенке . Тогда после интегрирования уравнения (2.44) получим:

.                                  (2.48)

Здесь  – величина, имеющая размерность скорости, поэтому называется динамической скоростью.

Выражение (2.48) представляет собой логарифмический закон распределения осредненных скоростей для ядра турбулентного потока.

Путем несложных преобразований формулу (2.48) можно привести
к следующему безразмерному виду:

                              (2.49)

где  – безразмерное расстояние от стенки; M – константа.

Как показывают опыты, c имеет одинаковое значение для всех случаев турбулентного течения . Значение M было определено опытами Никурадзе: . Итак, имеем:

                          (2.50)

В качестве безразмерного параметра, характеризующего толщину соответствующих зон, используется комплекс :

вязкий ламинарный подслой: ,

переходная зона:                 ,

турбулентное ядро:               .

При турбулентом режиме отношение осредненной скорости
к максимальной осевой составляет от 0,75 до 0,9.

Зная закон распределения скоростей (рис. 2.18), можно найти величину гидравлических сопротивлений. Однако для определения гидравлических сопротивлений можно использовать более простое соотношение, а именно: критериальное уравнение движения вязкой жидкости, полученное ранее, в первой части дисциплины.

Рис. 2.18. Распределение скоростей в трубе

при ламинарном и турбулентном режимах

Для горизонтальной прямой трубы в случае напорного течения вязкой жидкости критериальное уравнение имеет вид:

                                (2.51)

где  – геометрические комплексы,  – критерий Рейнольдса,  – критерий Эйлера. Они определяются как:

где ∆ – абсолютная шероховатость трубы, l – длина трубопровода,
d – внутренний диаметр трубы. Из опыта известно, что потери давления прямо пропорциональны . Поэтому можно записать:

                               (2.52)

Далее обозначим неизвестную функцию , распишем критерий Эйлера . Тогда из уравнения (2.52) для потери давления  получим:

                                     (2.53)

где l – коэффициент гидравлического трения, w – средняя скорость потока.

Полученное уравнение носит название уравнение Дарси – Вейсбаха. Уравнение (2.53) может быть представлено в виде потери напора:

                                      (2.54)

Таким образом, расчет потери давления  или напора  сводится к определению коэффициента гидравлического трения l.

График Никурадзе

Среди многочисленных работ по исследованию зависимости  выберем работу Никурадзе. Никурадзе подробно исследовал эту зависимость для труб с равномерно-зернистой поверхностью, созданной искусственно (рис. 2.19).

.

Рис. 2.19. График Никурадзе

Значение коэффициента  определяется по эмпирическим формулам, полученным для различных областей сопротивления по кривым Никурадзе.

1. Для ламинарного режима течения, т.е. при , коэффициент l для всех труб независимо от их шероховатости определяется из точного решения задачи о ламинарном течении жидкости в прямой круглой трубе по формуле Пуазейля:

                                           (2.55)

2. В узкой области  наблюдается скачкообразный рост коэффициента сопротивления. Эта область перехода от ламинарного режима к турбулентному характеризуется неустойчивым характером течения. Здесь наиболее вероятен на практике турбулентный режим
и правильнее всего пользоваться формулами для зоны 3. Можно также применить эмпирическую формулу:

                  (2.56)

3. В области гидравлически гладких труб при  толщина ламинарного слоя у стенки d больше абсолютной шероховатости стенок D, влияние выступов шероховатости, омываемых безотрывным потоком, практически не сказывается, и коэффициент сопротивления вычисляется здесь на основе обобщения опытных данных
по эмпирическим соотношениям, например по формуле Блаузиуса:

                                       (2.57)

4. В диапазоне чисел Рейнольдса  наблюдается переходная область от гидравлически гладких труб к шероховатым. В этой области (частично шероховатых труб), когда , т.е. выступы шероховатости с высотой, меньшей средней величины D, продолжают оставаться в пределах ламинарного слоя, а выступы с высотой, большей средней, оказываются в турбулентной области потока, проявляется тормозящее действие шероховатости. Коэффициент l в этом случае подсчитывается также из эмпирических соотношений, например
по формуле Альштуля:

                            (2.58)

5. При  толщина ламинарного слоя у стенки d достигает своего минимального значения, т.е.  и не меняется
с дальнейшим ростом числа Re. Поэтому l не зависит от числа Re,
а зависит лишь от e. В этой области (шероховатых труб или области квадратичного сопротивления) для нахождения коэффициента может быть рекомендована, например, формула Шифринсона:

                                 (2.59)

В этой зоне значение l находится в пределах .

Были проведены исследования для определения l с естественной шероховатостью. Для этих труб вторая зона не определяется. Для расчета
l обычно предлагаются вышеуказанные формулы.