Резонансные сечения, параметры резонансов.

Потенциальное рассеяние

    При столкновении нейтрона с ядром, имеющим массовое число A, могут происходить взаимодействия двух типов. В первом случае нейтроны рассеиваются на ядре как на «твердом шарике», без проникновения в ядро и, тем самым, не возбуждая его «внутренних степеней свободы». Такой процесс носит название упругого потенциального рассеяния и его сечение s_p слабо зависит от энергии нейтронов (для ²³⁸Us_p=11б).

Взаимодействие через составное ядро.

    Однако с некоторой вероятностью сталкивающийся нейтрон проникает в ядро, образуя так называемое «составное ядро» (A+1)^* в возбужденном состоянии. Энергия возбуждения составного ядра складывается из энергии связи нейтрона в ядре  и кинетической энергии нейтрона , то есть . Возбуждение ядра оказывается довольно сильным, поскольку ~7 МэВ.

    Атомное ядро является квантовой системой с определенными энергетическими уровнями . Когда  близко к одному из уровней , вероятность образования составного ядра резко возрастает, что приводит к пикам в нейтронных сечениях. Положение резонанса на оси кинетических энергий нейтрона дается выражением , а частота следования резонансов определяется плотностью уровней ядра (A+1).

    Энергетические уровни составного ядра (A+1) не являются стационарными, имеют конечное время жизни t и ядро распадается по одному из возможных каналов

    В первом случае это упругое резонансное рассеяние s_sr, во втором – радиационное резонансное поглощение s_cr, в третьем – резонансное деление s_fr. Для ²³⁸U при резонансных энергиях открытые лишь первые два канала.

    Конечное время жизни (в соответствии с принципом неопределенности ) приводит к неопределенностям в положении уровня и к конечной ширине резонансной линии. Ширина уровня    пропорциональна распаду составного ядра в единицу времени. Если обозначить вероятность распада ядра по каналу  как , то парциальные ширины будут равны  и . Для ядер ²³⁸U  а для делящихся ядер  Ширина зависит от индивидуальных характеристик отдельных уровней и поэтому изменяется от уровня к уровню. Однако усредненная по нескольким уровням вблизи энергии E ширина  плавно изменяется с энергией по закону , поэтому величина  (приведенная нейтронная ширина) в среднем слабо зависит от энергии резонанса. Радиационная ширина  является суммой ширин, соответствующих g распаду возбужденного состояния ядра  в низшие возбужденные состояния и потому флуктуирует от уровня к уровню в гораздо меньшей степени, чем . Для ²³⁸U  эВ.

Формула Брейта-Вигнера.

В простейшем приближении энергетическая зависимость резонансного сечения вблизи резонансной энергии  описывается формулой Брейта-Вигнера

           (14)

    Частота следования резонансов определяется плотностью уровней составного ядра. Среднее расстояние между резонансами ²³⁸U  Величина резонансного сечения в максимуме  при малых энергиях резонансов весьма велики, достигая при E~10 эВ величины ~ 10000 барн. С ростом энергии  падает и при ~ 100 КэВ оказывается сравнимой с сечением потенциального рассеяния s_p. В действительности подобное сглаживание резонансной структуры сечений происходит при более низких энергиях (~30 КэВ) за счет «доплеровского» уширения резонансов.

Резонансный интеграл

    Пусть мы имеем однородную бесконечную среду – смесь резонансного поглотителя с концентрацией  и сечением потенциального рассеяния s_p и замедлителя с концентрацией  и сечением рассеяния s_s. Полное сечение потенциального рассеяния для такой однородной среды

                                      (15)

Рассмотрим резонансное поглощение нейтронов при замедлении на примере единичного изолированного резонансного уровня при энергии .

Введем следующие параметры резонансов:

 – энергия резонансного уровня;

s_0i – сечение в центре резонансной линии при E_i ;

– ширина резонанса;

– расстояние между резонансами.

– эффективная ширина резонанса, то есть область энергий, где еще учитывается воздействие резонанса на спектр нейтронов. Если , то резонанс можно считать изолированным.

Для одиночного изолированного резонанса справедлива формула Брейта-Вигнера

(16)

Рис. 2. Резонансная линия Брейта-Вигнера .

E_r – точка максимума резонанса

- амплитуда резонансной линии

 – ширина резонанса на его полувысоте.

Как известно, в случае слабого поглощения среды поток нейтронов в ней описывается возрастным приближением, а вероятность избежать резонансного поглощения в возрастном приближении имеет вид

                               (17)

где 

                                 (18)

Сечение потенциального рассеяния поглотителя и замедлителя слабо меняются в пределах резонансного уровня, поэтому величину  можно вынести из под знака интеграла. В результате получим следующее выражение

                                     (19)

где

                                          (20)

носит название резонансного интеграла. Заметим, что для одного резонансного уровня ~1 и , где  – есть вероятность нейтрону испытать поглощение на i-ом резонансе. Поэтому ,

                                                     (21)

Вычислим резонансный интеграл для одиночного резонансного уровня

                         (22)

Если область действия резонанса , то переменную  в знаменателе подынтегрального выражения можно вынести изпод знака интеграла, присвоив ей значение резонансной энергии

                                      (24)

Производя стандартную замену переменных интегрирования

резонансный интеграл представим в виде

                                       (25)

Пределы интегрирования по переменной симметричны относительно . Наибольшее значение подынтегральное выражение принимает в центре резонансной линии , и при энергиях, отличных от резонансной энергии, это выражение стремиться к нулю. Поэтому пределы интегрирования можно распространить от -¥ до +¥, так как основное значение интеграл набирает в области

                                         (26)

Однако, если концентрация резонансного поглотителя достаточно велика, поглощение в резонансе становится существенной величиной и поток нейтронов в районе резонанса сильно изменяется с энергией, поэтому возрастное приближение становится неприменимым для этого случая.