Вопрос 1. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

ЛЕКЦИЯ 3.  ТЕМА «Дисконтирование (современная стоимость денежных средств)»

Вопрос 1. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

Дисконтирование в самом общем смысле этого слова – это обесценивание (снижение реальной стоимости) денежных средств во времени. Одна и та же сумма денег, которая может быть получена сегодня, стоит меньше, чем такая же сумма, полученная через некоторое время. Причем, чем больше этот временной промежуток, тем ниже реальная стоимость денежных средств. Можно назвать несколько субъективных и объективных причин для дисконтирования. Во-первых, это чисто психологическая причина, связанная с откладыванием на более поздний период удовлетворения каких-то потребностей. По такой же причине многие клиенты банка соглашаются взять кредит «на потребительские нужды» вместо того, чтобы ждать, когда постепенно накопится необходимая сумма. Во-вторых, это постоянная инфляция, которая в той или иной степени имеет место во всех странах с рыночной экономикой (как минимум 5-10% в год). Инфляция, в свою очередь, тесно связана с ограниченностью природных ресурсов и постепенным иссяканием их запасов. В-третьих, это наличие дополнительных возможностей использования денежных средств, имеющихся в настоящий момент, так как их можно потратить не только на удовлетворение насущных потребностей, но и положить, например, на депозит в банк, а значит, через некоторое время получить уже не первоначальную, а наращенную сумму.

В финансовой практике дисконтирование часто рассматривается как решение задачи, обратной к наращению процентов. А именно: по заданной наращенной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время (период) n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р.

Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р на основе заданной величины S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма Sдисконтируетсяили учитывается,сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом,а удержанные проценты – дисконтом. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке (учете) банком краткосрочных обязательств (векселей), оплата которых должником произойдет в будущем. Понятие «дисконт» в узком смысле слова употребляется по отношению к ценным бумагам, которые обращаются (т.е.продаются и покупаются) на рынке ценных бумаг, причем их рыночная цена (курсовая стоимость) постоянно изменяется.

Дисконт (от англ. discount (D) – разница между ценой некоторой ценной бумаги в настоящий момент и ее ценой на момент погашения (или ценой номинала).

Термин «дисконтирование» употребляется и в более широком смысле – как средство определения любойстоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведениемстоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени (приведение может быть осуществлено на любой момент времени.)

Дисконтирование (в широком смысле слова) – приведение стоимостных показателей к одному моменту времени.

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной суммы S, а иногда, в зависимости от контекста, – современной (текущей, приведенной) стоимостью.Современная величина суммы денежных средств является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения учитывается такой фактор, как время. Как мы увидим далее, большинство аналитических методов финансовой математики основывается на определении современной величины платежей.

Следует иметь в виду, что привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции. Кроме того, с помощью дисконтирования определяют современную стоимость некоторой суммы денег независимо от того, действительно ли совершалась данная операция и можно ли считать данную сумму буквально наращенной.

В зависимости от вида используемой процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

ü математическое дисконтирование–используется процентная ставка наращения (т.е. ставка ссудного процента) i;

ü банковский (коммерческий) учет– используется учетная процентная ставка d.

1. Математическое дисконтирование.Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной к задаче наращения первоначальной суммы ссуды. Решаемая задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму денежных средств P надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i?

Как известно наращенная сумма S рассчитывается по формуле (3.1):

Решая уравнение (3.1) относительно Р,находим:

Напомним, что если t – срок ссуды в днях, то n = t/K – срок ссуды в годах (где К – условная продолжительность одного года, которую обычно называют «временной базой» финансовых расчетов и которая может быть различной в финансовой практике разных стран).

Установленная таким способом величина Рявляется современной величиной суммы S,которая будет выплачена спустя nлет.

Дробь 1/(1 + n*i)называют дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

Разность (S – Р)  можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р,но и как дисконт (cкидку) с суммы S. Обозначим величину дисконта символом D.

Пример 1. Через 180 дней после подписания кредитного договора клиент банка должен уплатить 310000 рублей. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга и величина дисконта при условии, что временная база К равна 365 дням?

Решение:

 руб.

Дисконт равен  руб.

Разумеется, дисконт как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.

2. Банковский (коммерческий) учет (учет векселей).Суть операции заключается в следующем. Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт (и соответственно получает доход от данной финансовой операции). В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить денежные средства, хотя и не в полном объеме, однако раньше указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский (коммерческий)учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Размер дисконта (D), или суммы учета равен S*n*d,если d– годовая ставка, то nизмеряется в годах.

Таким образом:

где n – срок от момента учета до даты погашения векселя;

d – дисконтная (учетная) процентная ставка.

Дисконтный множитель здесь равен (1 – n*d).

Учет векселей посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К= 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным.

Пример 2.Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. рублей с уплатой 17 ноября 2015 года. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября 2015 года по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Сколько составит полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных)?

Решение:

 руб.

Дисконт составит 30600 руб.

Как было показано выше, оба вида процентных ставок применяются для решения сходных задач.

Однако для ссудной процентной ставки (или ставки наращения) прямой задачей является определение наращенной суммы, а обратной задачей – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода дисконтирования – по ставке наращения i и учетной ставке d – приводят к разным результатам даже тогда, когда i = d.

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Так, из формулы следует, что при n > 1/d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок дос­таточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Влияние фактора времени усиливается при увеличении величины ставки. Так, при d = 100% отрицательный результат проявится уже при n > 1. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа здесь больше нуля.

Иногда размер дисконта фиксируется в договоре в виде процента скидки (общей учетной ставки) за весь срок ссуды. Обозначим дисконтную ставку за весь срок ссуды d¹. В этом случае

                                                      (3.5)

Имея в виду, что P = S/(1 + n*i), находим годовую ставку наращения

                                                                          (3.6).

Аналогично находим годовую учетную ставку:

                                                                                      (3.7).

Пример 3.Стороны договорились о том, что из суммы кредита, выданной на 210 дней, удерживается дисконт в размере 12%. Необходимо определить цену кредита в виде годовой ставки простых процентов и учетной ставки (К = 360).

Решение:

;