III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1166 на доске и в тетрадях.

Примечание. В ходе решения этой задачи полезно подчеркнуть, что поворот вокруг точки на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом вокруг этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.

2. Решить задачи № 1167 и №1169 (учащиеся могут выполнить эти задания самостоятельно с последующим обсуждением).

3. Полезно предложить учащимся самостоятельно изучить решение задачи № 1171 (а), приведенное в учебнике, выполнить необходимые построения, а затем можно обсудить это решение. Важно подчеркнуть, что решение рассмотренной задачи дает еще один способ построения прямой, на которую отображается данная прямая при повороте вокруг данной точки.

4. Рассмотреть с учащимися следующие задачи:

1) Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата являются вершинами другого квадрата.

2) Докажите, что при повороте правильного треугольника АВС вокруг вершины А на 60° либо вершина В переходит в вершину С, либо вершина С переходит в вершину В.

5. Решить задачу № 1170 (б).

IV. Самостоятельная работа(обучающего характера).

Вариант I

1. В трапеции АВСD боковые стороны АВ и СD равны.

1) Постройте отрезок СА₁, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор .

2) Найдите площадь треугольника А₁СD, если АD = 10 см, ВС = 4 см, АВ = 6 см.

2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг своего центра отображается на себя.

Вариант II

1. Точка М – середина стороны АС треугольника АВС.

1) Постройте отрезок МВ₁, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор .

2) Найдите периметр треугольника МDС, где D – точка пересечения отрезков ВС и МВ₁, если периметр треугольника АВС равен 12 м.

2. Докажите, что правильный пятиугольник при повороте на 72° вокруг своего центра отображается на себя.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 116–117; ответить на вопросы 14–17, с. 304 учебника; решить задачи № 1168, 1170 (а), 1171 (б), 1183; подготовиться к устному опросу по карточкам, повторив материал пунктов 113–114.

Урок 7
Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся по теме «Движения», развивать умение решать задачи с применением движений.

Ход урокa

I. Устный опрос учащихся по карточкам.

Карточка 1

1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

2. Докажите, что параллельный перенос является движением.

3. Точка М – середина стороны ВС правильного треугольника АВС, точки N и K симметричны точке М относительно прямых АВ и АС. Докажите, что NK  АМ.

Карточка 2

1. Что такое движение плоскости?

2. Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

3. На окружности с центром О и радиусом r отмечена точка А. Постройте окружность, на которую отображается данная окружность при повороте вокруг точки А на 60° по часовой стрелке. найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения данной и построенной окружностей.

Карточка 3

1. На какую фигуру отображается при движении отрезок?

2. Докажите, что центральная симметрия является движением.

3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Постройте точки D и Е, на которые отображаются точки А и С при параллельном переносе на вектор , и докажите, что АЕ = DВ.

Карточка 4

1. На какую фигуру отображается при движении треугольник?

2. Докажите, что поворот плоскости вокруг точки является движением.

3. Точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСD является его центром симметрии. Докажите, что АВСD – параллелограмм.

II. Решение задач.

1. На этих уроках рекомендуется рассмотреть простые задачи, причем большинство из них целесообразно решать в ходе обсуждения с учащимися. Это относится к задачам №№ 1172, 1173, 1177, 1180.

2. Полезно обсудить и решения задач № 1176, №1178.

3. Задачи №№ 1174, 1175, 1181 и 1182 можно предложить учащимся решить самостоятельно, а затем обсудить полученные решения.

Решения

1) задача № 1172.

Поскольку точки А и В отображаются на себя, то и прямая АВ отображается на себя. Пусть М – произвольная точка прямой АВ. Она отображается в некоторую точку М₁, также лежащую на прямой АВ. По определению движения АМ = АМ₁, ВМ = ВМ₁. Допустим, что точка М₁ не совпадает с точкой М. Тогда из первого равенства следует, что точка А – середина отрезка ММ₁, а из второго равенства, что точка В также середина отрезка ММ₁. Значит, точки А и В совпадают, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, то есть точки М и М₁ совпадают. Итак, любая точка прямой АВ отображается на себя.

2) Задача № 1173.

Пусть g – данное движение, а е – тождественное отображение плоскости на себя, то есть отображение, при котором каждая точка плоскости и, в частности, каждая вершина треугольника АВС отображается на себя. Ясно, что е – движение, поэтому согласно задаче № 1155 движения g и е совпадают, и, значит, движение g является тождественным отображением плоскости на себя.

3) Задача № 1180.

Рассмотрим поворот вокруг точки О на 120° в направлении обхода по дуге АВС от точки А к точке С. Так как АОВ = ВОС = СОА = 120° и ОА = ОВ = ОС, то при этом повороте точка А отображается в точку В, точка В – в точку С, точка С – в точку А. Аналогично при этом же повороте точки А₁, В₁, С₁ отображаются соответственно в точки В₁, С₁ и А₁.

Следовательно, прямая АА₁ отображается на прямую ВВ₁, прямая ВВ₁ – на прямую СС₁, прямая СС₁ – на прямую АА₁.

Отсюда следует, что если прямая АА₁ проходит через точку О, то прямые ВВ₁ и СС₁ также проходят через эту точку.

Если же прямая АА₁ не проходит через точку О, то и прямые ВВ₁ и СС₁ не проходят через эту точку и, попарно пересекаясь, образуют некоторый треугольник МNР. Ясно, что при рассматриваемом повороте точка М пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁ отображается в точку пересечения отрезков ВВ₁ и СС₁. Аналогично точка N отображается в точку Р пересечения отрезков СС₁ и АА₁, а точка Р – в точку М. Следовательно, МN = NP = PМ, то есть треугольник МNР – равносторонний.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе: повторить материал пунктов 113–117 и ответить на вопросы 1–17, с. 303–304 учебника; решить задачи №№ 1219, 1220, 1221, 1222.

Урок 8
Контрольная работа № 4

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся в решении задач по теме «Движения».

Ход урока