Раздел 3. Спектральный анализ

Теоретические вопросы и аналитические задачи.

1. Пусть задано  отсчетов данных , полученных с шагом дискретизации , и  отсчетов корреляционной функции. Показать, что корреляционная оценка СПМ , в которой используется смещенная оценка корреляционной функции при максимальном числе возможных временных сдвигов и выборочный спектр

идентичны.

2. Для окон (естественного, Бартлета и Парзена), используемых в методе коррелограмм, получить значение для статистической полосы частот , определяемой следующим образом

                           .

3. В методе коррелограмм используется так называемое параболическое корреляционное окно, определяемое следующим образом

Показать, что соответствующее ему спектральное окно имеет вид

                           .

4. Показать, что для корреляционного окна Папулиса, определяемого выражением

соответствующее ему спектральное окно имеет вид

                           .

5. Обосновать метод Штерна оценки мощности гармонической компоненты по превышению максимума этой компоненты в спектре над уровнем шума. Пусть истинный спектр гармонической компоненты имеет вид . В результате усреднения по достаточно большому количеству секций, каждая из которых имеет длину , мы получили спектр с малой дисперсией. В этом спектре максимум спектральной компоненты сигнала превышает уровень спектра шума на величину . Показать, что оценку мощности спектральной компоненты  можно получить из выражения

                           ,

где  - спектральное окно соответствующее используемому на секции временному окну.

6. Проанализировать влияние погрешности оценки корреляционной функции на СПМ, полученную преобразованием Фурье ([7], с. 269). Пусть выборочная корреляционная функция  может быть представлена в следующем виде

    ,

где  - истинная корреляционная функция, а  - d-коррелированный шум . Показать, что

    .

7. Измерением СПМ методом фильтрации, который используется в аналоговых и ряде специализированных компьютерных спектранализаторах, основано на выполнении трех последовательных процедур:

1) пропускание исследуемого сигнала x(t) через полосовой фильтр (с частотной характеристикой  настроенный на частоту  и полосой пропускания ;

2) возведение в квадрат сигнала, полученного на выходе фильтра ;

3) интегрирование сигнала  на конечном отрезке времени.

Полученная оценка СПМ может быть записана в следующем виде

     где .

Проанализировать чем определяется смещение и дисперсия оценки СПМ, полученной методом фильтрации.

8. Показать, что спектральное окно , используемое в методе фильтрации для получения оценки СПМ (см. предыдущую задачу), может быть записано в следующем виде

                           ,

где  - частотная характеристика фильтра.

Вычислительные задачи.

1. Используя случайную выборку, сгенерированную с помощью датчика случайных чисел, с помощью метода периодограмм получить модуль передаточной функции цифрового фильтра. Показать, что дисперсия оценки усредненной по  выборкам выборочной СПМ обратно пропорциональна . Рассмотреть один из вариантов фильтра:

Баттерфорда, Чебышева, инверсного Чебышев, Эллиптического, Бесселя, Equi-Ripple, КИХ.

2. Используя генератор гауссового шума, с помощью метода коррелограмм получить модуль передаточной функции цифрового фильтра. По выборке длиной  вычислить выборочную корреляционную функцию . Проверить справедливость утверждения  Рассмотреть один из вариантов фильтра:

Баттерфорда, Чебышева, инверсного Чебышев, Эллиптического, Бесселя, Equi-Ripple, КИХ.

3. С помощью датчика случайных чисел сгенерировать случайную последовательность длиной 2¹⁴. Используя метод периодограмм с длиной секции 2⁸, без перекрытия и с перекрытием на половину секции, получить дисперсию оценки СПМ в обоих случаях.

4. Используя метод периодограмм продемонстрировать выделение гармонического сигнала из шума, увеличивая число выборок, по которым производится усреднение СПМ.

5. Допустим, что с помощью компьютера требуется многократно генерировать случайные выборки  с заданной корреляционной функцией. Для этого можно использовать следующий алгоритм. Сгенерируем случайную выборку , в которой  равномерно распределены на интервале . Умножим эту выборку на дискретных Фурье-образ требуемой корреляционной функции  и выполним обратное преобразование Фурье. Обоснуйте, что этот алгоритм позволяет получать случайные выборки с заданной корреляционной функцией. Реализуйте с помощью компьютера этот алгоритм, самостоятельно выбрав корреляционную функцию. При реализации постарайтесь избежать эффектов наложения частот. Вычислите усредненную по достаточно большому числу полученных реализаций корреляционную функцию и убедитесь, что она соответствует выбранной вами.