Теоретические вопросы и аналитические задачи.

Задачи new

Задачи и вопросы.

Раздел 1. Преобразование Фурье

Теоретические вопросы и аналитические задачи.

1. Доказать теорему Парсеваля для двух функций F₁(t),F₂(t) .

2. Доказать теорему о свертке во временном и частотном представлении.

3. Используя теорему о свертке и теорему Парсеваля вычислить интегралы:

.

4. Вывести интерполяционную формулу Котельникова-Шеннона в частотной области.

5. Почему физически не может быть реализован, фильтр, соответствующий частотной селектирующей функции  ?

Напоминание:

6. Дискретизация с усреднением ([7], т. 1, с. 86). Часто в процессе оцифровки сигнала выполняется операция усреднения с некоторым временем  (где  - период дискретизации), при этом значение в отсчете определяется выражением

                           .                                      Введение усреднения эквивалентно фильтрации сигнала, что приводит к изменению, как модуля спектра сигнала, так и фазы спектра. Оценить максимальную величину , при которой влияние фильтрации на модуль спектра меньше 1% для всех частот сигнала вплоть до ; какой сдвиг фаз  такой фильтр будет давать на частоте  

Ответ: .

7. Субдискретизация (обобщение теоремы Котельникова-Шеннона) ([7], т. 1, с. 86). Рассмотрим узкополосный с сигнал с несущей частотой , спектральная плотность мощности которого отлична от нуля только на интервалах частот  и . Вследствие узкополосности сигнала можно подобрать частоту дискретизации ниже значения  и при этом не будет происходить искажение спектра дискретного сигнала (это аналогично стробоскопическому эффекту). Наиболее просто это можно графически получить в случае . Показать, что выполнение условия  

гарантирует отсутствие искажения спектра дискретного сигнала эффектами наложения, здесь  - частота дискретизации,  - порядок субдискретизации.

    Построить фильтр, с помощью которого из дискретного сигнала можно восстановить непрерывный сигнал, если частота дискретизации удовлетворяет вышеприведенному условию.

8. Используя субдискретизацию (см. задачу 7), найти минимальную частоту дискретизации  и максимальный порядок субдискретизации , а также порядок субдискретизации , соответстующий частоте дискретизации равной F=41 кГц для следующего случая: F₀=10⁶ Гц, Df=5.10³ Гц.

Ответ: F_min=4.42Df, k_max=99; k=48.

9. Пусть мы имеем дискретную функцию , заданную в  отсчетов (j=0,1,...,N). Для уменьшения расстояния между спектральными компонентами дополняем эту функцию нулями в количестве  штук. Какой алгоритм БПФ требует меньшего количества операций для получения Фурье-образа расширенной функции: с прореживанием по отсчетам или по гармоникам ?

10. Алгоритм Рейдера предназначен для секционированного вычисления свертки или автокорреляционной функции сигнала  с половинным перекрытием секций с помощью КПФ. Записать алгоритм и оценить количество операций необходимых для получения по K секциям значений корреляционной функции в отсчетах k=0,1,..,M.

Примечание. Если выбирать длину секции , где  - максимальный временной сдвиг в корреляционной функции, то можно значительно сократить количество операций, воспользовавшись свойством ДПФ: Фурье-преобразование для -точечной последовательности  равно , где - Фурье-преобразование последовательности . Для вычисления автокорреляционной функции на K секциях длиной  каждая необходимо вычислить -точечных КПФ и одно -точечное обратное КПФ.

11. Пользуясь свойствами Фурье преобразования показать, что .

12. Детектирование. Идеальный двухполупериодный выпрямитель осуществляет операцию . Пусть сигнал на входе выпрямителя имеет вид , где .

a) Показать, что спектр сигнала на выходе имеет вид

.

б) Как восстановить после детектирования сигнал  

13. Амплитудная модуляция. Получить спектр амплитудно-модулированного сигнала .

Проиллюстрировать, используя спектральное представление, восстановление  с использованием однополупериодного выпрямителя  и фильтра низких частот.

14. Синхронное детектирование. Восстановить  в амплитудно-модулированном сигнале  можно с помощью, как выпрямителя , так и синхронного детектора с использованием несущей частоты . Получить спектр сигнала на выходе синхронного детектора, выполняющего операцию .

    Допустим, что в тракте передачи амплитудно-модулированного сигнала до детектора аддитивно к сигналу добавляются шумы , спектр которых имеет подъем в области низких частот . Показать, что восстановление с использованием синхронного детектора происходит с более высоким отношением сигнал/шум в сравнении с использованием выпрямителя.

15. Томография. Пусть  в ограниченной области плоскости . Рассмотрим прямую , проходящую под углом  к оси  на расстоянии  от начала координат. Введем интеграл вдоль этой прямой – томографическую проекцию .

Доказать, что . Предложить простейший алгоритм восстановления  по томографическим проекциям  для  с использованием ДПФ.

16. Покажите, что передаточная функция  имеет максимум на частоте .

17. Получите передаточную функцию фильтра .

Ответ: .

18. Получите передаточную функцию фильтра: , N – четное,  - коэффициенты разложения бинома Ньютона.

Ответ:

19. Пусть фильтр низких частот задается разностным уравнением: . При каком значении параметра  коэффициент передачи падает в 2 раза на заданной частоте В ; шаг дискретизации Т.  .

Ответ: .

20. Докажите, что фазочастотая характеристики КИХ фильтров с симметричными коэффициентами линейно зависит от частоты.

21. Докажите, что действие КИХ фильтра с симметричными коэффициентами порядка К приводит к задержке сигнала на его выходе на величину .

22. Предположим, что Фурье-образ функции  отличен от нуля на интервале . Получите формулу, которая восстанавливает  по усредненным значениям на интервале :

                                 .

23. Пусть  и  - два целых числа с большим количеством цифр. Получить связь между произведением  и сверткой. Показать, как использовать БПФ для вычисления этого произведения.

24. Децимация. Пусть  и целое. Показать что

.

Определить достаточное условие для восстановления  по . Найти интерполяционный алгоритм.

25. Предположим, что  - изображение с  ненулевыми пикселями при . Пусть  - сепарабельный фльтр с  ненулевыми коэффициентами . Описать алгоритм получения двумерной свертки  и подсчитать количество операций для его выполнения. При каких значениях  целесообразно применять двумерное преобразование Фурье для вычисления свертки.

26. Пусть  есть изображение, которое имеет скачок (разрыв) величиной А вдоль прямой, проходящей через начало координат и составляющей угол θ с осью x₁. Изображение просматривается через пространственный фильтр  с полосой . Получить выражение для осцилляций Гиббса , как функции параметров .

27. Показать, что преобразование Фурье функции  есть .

28. Пусть . Показать, что

29. Пусть вещественная функция  имеет носитель  отличный от нуля в области . Получить интерполяционную формулу, которая восстанавливает   по .

30. Вещественная функция  имеет носитель  отличный от нуля в области . Найти интерполяционную формулу, восстанавливающую   по .

Замечание. Усреднение функции по периоду дискретизации есть свертка ее с функцией . Показать, что система функций  образует ортонормальный базис, по которому можно разложить исходную функцию.

31. Показать, что  есть фазовый фильтр, т.е. .

32. Получить аналитическую часть сигнала , где  - вещественная функция, .

Вычислительные задачи.

1. С помощью БПФ количественно исследовать влияние формы импульса  на ширину спектра .

Эффективная длительность импульса .

Эффективная ширина полосы импульса .

Найти численный коэффициент С в соотношении неопределенности  для следующих вариантов:

Вариант 1.

а) прямоугольный, длительностью ; б) треугольный, длительностью ; в) гауссовый ширины .

Вариант 2.

а) прямоугольный, длительностью ;

б) косинус ; в) гауссовый ширины .

Вариант 3.

а) прямоугольный, длительностью ;

б) косинус ;

в) гауссовый ширины .

Вариант 4.

а) прямоугольный длительностью ;

б) супергауссовый

Вариант 5.

Вейвлет Хаара.

2. Используя БПФ, вычислить форму сигнала . Спектр сигнала постоянен и отличен от нуля в полосе частот  (а); внутри этого интервала спектр имеет треугольную форму (б); имеет постоянный спектр в полосе частот  (в). Оценить длительность сигнала в зависимости от .

3. Используя БПФ, найти спектр излучения атома, полагая, что излучение может быть представлено затухающей синусоидой с частотой Ώ и затуханием τ . Оценить ширину спектра излучения He-Ne лазера, для которого время между столкновениями атома .

4. Реализовать обобщенный алгоритм БПФ для выборки, длина которой . Рассмотреть случай . Продемонстрировать работу алгоритма на каком-либо простом сигнале.

5. Получить графики сигналов и их спектры для частотной модуляции. Рассмотреть случаи:

а) линейный чирп , б) квадратичный чирп , в) гиперболический чирп . Проанализировать изменение вида спектров в зависимости от параметров .

6. Пусть фильтр низких частот задается разностным уравнением:  ( ). Получите:

а) значения параметра  для Т=0.005 и В=3.125, 6.25, 12.5, 20, 25, 100 Гц;

б) вычислите  для ;

в) вычислите и постройте графики коэффициента усиления и фазы передаточной функции для  Гц.

7. Рассчитать, используя БПФ, спектр фазо-модулированного сигнала , где  - гармоническая (а) и периодическая функция треугольной формы (б) с единичной амплитудой и частотой ;

8. Рассчитать, используя БПФ, спектр частотно-модулированного сигнала , где  - гармоническая (а) и периодическая функция треугольной формы (б) с единичной амплитудой и частотой ;

9. Томография. Реализуйте на примере простой функции (например, двумерной функции Гаусса ) получение томографических проекций (см. задачу 15 из аналитического раздела). Реализуйте простейший алгоритм восстановления  по томографическим проекциям.

10. Перейти от непрерывной функции  к дисретной, выбрав шаг дискретизации такой, чтобы исключить эффект наложения частот. Используя алгоритм БПФ, получить спектр дискретизованной функции и убедиться в отсутствии эффекта наложения частот.