Раздел 2. Корреляционный анализ

Теоретические вопросы и аналитические задачи.

1. Проверить прямым расчетом является ли гармонический процесс со случайной начальной фазой эргодическим процессом, т.е. совпадает ли значение корреляционной функции, вычисленное путем усреднения по времени со значением корреляционной функции, вычисленной путем усреднения по ансамблю.

2. Вывести неравенство для взаимной корреляционной функции .

3. На вход линейной системы подается белый шум. Вычислить шумовую ширину спектра  и эффективное время корреляции  сигналов на выходе системы для следующих линейных систем:

    а) резонансный контур добротности  с частотой настройки ;

    б) интегрирующая цепочка с постоянной времени интегрирования ;

    в) идеальный фильтр низких частот с полосой пропускания ;

    г) идеальный полосовой фильтр на частоте  с шириной полосы пропускания .

4. Показать прямым вычислением, что в случае сигнала с автокорреляционной функцией вида  среднеквадратичная ошибка выборочной корреляционной функции, полученная с использованием смещенной оценки , меньше, чем при использовании несмещенной оценки .

5. Получить выражение для дисперсии оценки корреляционной функции низкочастотного шума с прямоугольным спектром.

6. Получить рекурентные формулы вычисления текущего  среднего значения  и дисперсии  случайной величины  по значениям  и , полученным на предыдущем шаге .

7. Показать, что для нормально распределенной случайной величины  с нулевым средним значением .

8. Получить выражение для корреляционной функции сигнала , где  - случайные числа, равномерно распределенные на интервале . Оцените время корреляции сигнала. Как изменится вид корреляционной функции и сигнала, если .

Вычислительные задачи.

1. Сгенерировать с помощью компьютера выборки длительностью Т для двух сигналов:  и , где: ;  - гауссовы случайные процессы с дисперсией ; . Рассмотреть два случая:  и . Вычислить кросс-корреляционную функцию для ряда значений дисперсии и показать , что использование кросс-корреляции позволяет обнаружить сигнал  и определить его относительную задержку в сигналах  и .

2. Получить АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра и его импульсную характеристику. Рассмотреть фильтры:

 а) Баттерфорда, б) Чебышева, в) инверсного Чебышева, г) эллиптического, д) Бесселя, е) КИХ.

3. Подать на вход цифрового фильтра шумовой сигнал. Используя сигнал с выхода фильтра, рассчитать, кросс-корреляцию между входом и выходом цифрового фильтра и получить функцию импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ. Рассмотреть один из вариантов фильтра:

а) Баттерфорда, б) Чебышева, в) инверсного Чебышева, г) эллиптического, д) Бесселя, е) КИХ.

Замечание: для вычисления кросс-корреляции использовать только часть выборки с выхода фильтра, не содержащую переходного процесса.

4. Для выборки длиной М=100, 1000, 5000 получить графики сигнала  и его корреляционной функции, где  случайный процесс на выходе какого-либо низкочастотного БИХ фильтра 2-го порядка, на вход которого поступает белый шум. Частота среза фильтра значительно меньше частоты сигнала. Меняя А продемонстрировать эффективность использования корреляционной функции для обнаружения гармонического сигнала.

5. Для получения реализации случайного процесса с требуемой корреляционной функцией следует широкополосный случайный процесс пропустить через фильтр с соответствующей частной характеристикой. С помощью компьютера получите дискретную реализацию случайного процесса, с корреляционной функцией .