Процедура синтеза дискретного корректирующего устройства

Рассмотрим задачу синтеза дискретного корректирующего устройства частотным методом, при котором в замкнутой системе при входном сигнале  для дискретных моментов времени ,  выполняются прямые показатели качества: , , , где ,  и  – заданные ошибка, время регулирования и перерегулирование.

Статический расчет

Сначала найдем условие на выбор коэффициента , при котором в замкнутой системе выполняется условие . Для этого по структурной схеме рис. 5 запишем выражение для ошибки :

,

где . С учетом выражения (23) получим

                               .                        (24)

Полагая, что замкнутая система будет устойчивой, воспользуемся теоремой о конечном значении оригинала для определения установившейся ошибки [1]:

.

(25)

Для командного входного сигнала  с учетом выражений (13), (23), (24) после сокращений получим

     .       (26)

При значении  формула (26) совпадает с установившейся ошибкой для непрерывной следящей системы, рассмотренной в лабораторной работе № 8. Однако здесь установившаяся ошибка рассматривается только для дискретных моментов времени  и ее поведение в интервалах времени  неизвестно. Возможны случаи существования «скрытых колебаний» в указанных интервалах времени, при которых . Поэтому после проведения синтеза дискретного управления необходимо провести моделирование замкнутой системы по времени . Если при этом в установившемся режиме , то следует уменьшить значение  и заново провести синтез управления.

Из выражения (26) с учетом равенства  при  по заданному значению  найдем требуемое значение

.

Динамический расчет

Найдем передаточную функцию  по заданным показателям качества ,  методом логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ). Для этого будем использовать передаточную функцию  разомкнутой нескорректированной системы с найденным коэффициентом :

                                   .                                     (27)

При этом желаемая передаточная функция разомкнутой системы имеет вид . Тогда по известной передаточной функции  определяется передаточная функция коррекции .

Следуя методике синтеза коррекции на основе ЛФЧХ, по передаточной функции  при ,  можно построить ее ЛАХ  и ЛФХ  при изменении . Поскольку  является периодической функцией  с периодом, равным , то при изменении  значение  многократно обегает окружность единичного радиуса против часовой стрелки (рис. 6). При этом функции  и  также являются периодическими функциями  с периодом, равным . Поэтому особенности поведения ЛАХ и ЛФХ достаточно рассматривать на интервале частот .

Учитывая также, что функция  симметрична относительно вещественной оси плоскости  (рис. 6), то ее можно рассматривать на интервале частот : при значении  для 1-го и 2-го квадрантов; при замене  на  для 3-го и 4-го квадрантов. При этом функция  соответственно будет иметь вид  и , т.е. является симметричной относительно вещественной оси плоскости . В этом случае для использования критерия Найквиста достаточно ограничиться только одной ветвью годографа  при изменении .

Тем самым в отличие критерия Найквиста непрерывных систем, для которых необходимо строить АФЧХ разомкнутой системы при изменении , в дискретных системах АФЧХ строится при изменении . При этом, однако логарифмические частотные характеристики  и  имеют сложный вид, неудобный для ручного построения и синтеза дискретной коррекции. В связи с этим отобразим интервал частот  на бесконечную полуось вспомогательной частоты с помощью эквивалентного выражения:

.

Полагая здесь , получим

                                          ,                                   (28)

где  – вспомогательная псевдочастота, которая при изменении  принимает значения . При малых значениях  псевдочастота , т.к. .

При подстановке (28) в выражение  получим передаточную функцию  уже в виде алгебраического выражения, для которого можно строить асимптотическую ЛАХ и проводить синтез коррекции ручным способом.

Процедура синтеза последовательной коррекции состоит из следующих шагов.

1. С помощью обозначения  получим вспомогательную передаточную функцию , для которой проводится факторизация:

                                 ,

где символы "+" и "–" обозначают полиномы, корни которых имеют запасы устойчивости и не имеют запасов устойчивости соответственно.

Формируется структура желаемой передаточной функции

                       .

Таким образом, желаемая передаточная должна содержать полиномы ,  передаточной функции .

2. По передаточной функции  строятся асимптотическая ЛАХ и ЛФХ в логарифмическом масштабе , также как для непрерывных систем.

3. С учетом свободы выбора полиномов  строится асимптотическая желаемая ЛАХ  по заданным показателям качества , , которая изображается на графике ЛАХ нескорректированной системы . При этом следует учитывать, что  является неминимально-фазовой и при построении  необходимо обеспечивать требуемые запасы устойчивости по амплитуде и фазе, как и для непрерывных минимально-фазовых систем.

4. Определяется передаточная функция последовательной дискретной коррекции по ее логарифмической характеристике

,

или с помощью выражения

.

Выражение передаточной функции дикретной коррекции  определяется в результате обратного преобразования .

5. По найденной передаточной функции дискретной коррекции  составляется алгоритм вычисления управляющего сигнала в виде выражения (20).

Рассмотрим процедуру синтеза дискретной коррекции для ОУ (21) при следующих исходных данных: , с, с; с;  рад/с,  рад,  с, 30%.

По формуле (26) найдем требуемый коэффициент усиления разомкнутой системы .

Синтез дискретной коррекции проведем с помощью программы составленной в Script-файле, который можно скопировать вместе с вспомогательным S-файлом с именем 'DiskrKor' из приложения к лабораторной работе:

kpas=100;Ty=0.01;Tdv=0.1; T0=0.05;% исходные данные

% Передаточная функция непрерывной разомкнутой системы

 W0=tf([kpas],[1 0])*tf([1],[Tdv 1])*tf([1],[Ty 1]);

% Дискретная передаточная функция нескорректированной

% разомкнутой системы

Wpasd=c2d(W0,T0);

% ЛАХ и ЛФХ нескорректированной дискретной системы в псевдочастоте

[nWpasd,dWpasd]=tfdata(Wpasd,'v');

NWpasd=poly2sym(nWpasd,'z'); DWpasd=poly2sym(dWpasd,'z');

s=sym('s'); z=(1+s*T0/2)/(1-s*T0/2);

Ns=compose(NWpasd,z); Ds=compose(DWpasd,z);

Ws=Ns/Ds; Ws=simple((Ws)); [nWs,dWs]=numden(Ws);

nWs=sym2poly(expand(nWs));dWs=sym2poly(expand(dWs));

Wpass=tf(nWs,dWs);

disp('Передаточная функция разомкнутой системы от оператора s');

zpk(Wpass)                                 

figure(1); margin(Wpass); grid;

% Асимптотическая ЛАХ нескорректированной системы в псевдочастоте

omega=[0.1 9.797 39.36 40 44.36 195.1 1000];

L1=20*log10(kpas/omega(1));L2=20*log10(kpas/omega(2));

L3=L2-40*log10(omega(3)/omega(2));

L4=L3-60*log10(omega(4)/omega(3));

L5=L4-40*log10(omega(5)/omega(4));

L6=L5-20*log10(omega(6)/omega(5));L7=L6;

L=[L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7];

figure(2); semilogx(omega,L);

% Асимптотическая ЛАХ желаемой разомкнутой системы в псевдочастоте

omega=[0.1 0.2 2 195.1 1000];

L1=20*log10(kpas/omega(1));L2=20*log10(kpas/omega(2));

L3=L2-40*log10(omega(3)/omega(2));

L4=L3-20*log10(omega(4)/omega(3)); L5=L4;

L=[L1 L2 L3 L4 L5];

hold on; semilogx(omega,L,'r');grid on % красный цвет

disp('Желаемая передаточная функция разомкнутой системы от s');

Wgs=kpas*tf([1/195.1 -1],[1 0])*tf([1/2 1],[1/0.2 1])*…

tf([1/40 -1],[1/40 1]); zpk(Wgs)

% Точные ЛАХ и ЛФХ, запасы устойчивости желаемой системы

% в псевдочастоте

figure(3);margin(Wgs);grid;

% Последовательная коррекция в псевдочастоте

Wks=Wgs/Wpass;

Wks=minreal(Wks,1e-2);% постоянные времени с точность 0.01

% Обратный переход от псевдочастоты к z-изображению

[nWks,dWks]=tfdata(Wks,'v');

NWks=poly2sym(nWks,'s'); DWks=poly2sym(dWks,'s');

z=sym('z'); s=2/T0*(z-1)/(z+1);

Ns=compose(NWks,s); Ds=compose(DWks,s);

Ws=Ns/Ds; Ws=simple((Ws)); [nWs,dWs]=numden(Ws);

nWs=sym2poly(expand(nWs));dWs=sym2poly(expand(dWs));

disp('Дискретная коррекция в z-изображении')

Wkd=minreal(tf(nWs,dWs,T0),1e-2);zpk(Wkd)

% Построение переходной характеристики с помощью S- модели

sim('DiskrKor');figure(4);hold on; simplot(y)

В результате выполнения программы определяется передаточная функция  нескорректированной дискретной системы с оператором , которая выводится на печать:

Zero/pole/gain:

0.11169 (s-195.1) (s-40) (s+44.36)

----------------------------------

s (s+39.46) (s+9.797)

Для передаточной функции  строятся ЛАХ и ЛФХ в зависимости от псевдочастоты  (рис. 7), для которых найдены отрицательные запасы устойчивости по амплитуде  дБ и фазе  град, что свидетельствует о неустойчивости замкнутой дискретной системы. При этом ЛАХ и ЛФХ  близки к ЛАХ и ЛФХ  в области низких частот.

Рис. 7

По передаточной функции  программируется и строится ручным способом асимптотическая ЛАХ , а также желаемая ЛАХ  по заданным показателям качества  с, 30% в зависимости от псевдочастоты  аналогично, как и для непрерывных систем (см. лабораторная работа № 8). Задание желаемой передаточной функции  разомкнутой системы проводится с учетом . При этом определяется желаемая частота среза  для 30%, которая принимает значение  и соответственно , . Построенные ЛАХ приведены на рис. 8.

Рис. 8

На печать также выводится передаточная функция :

Zero/pole/gain:

0.051256 (s-195.1) (s-40) (s+2)

-------------------------------

  s (s+40) (s+0.2)

по которой строятся точные ЛАХ  и ЛФХ  с указанием запасов устойчивости по амплитуде  дБ и фазе  град (рис. 9).

Рис. 9

Для проверки выполнения заданных показателей качества с помощью S-файла с именем 'DiskrKor', вызываемого из программы, строится пере­ходная характеристика замкнутой системы (рис. 10), из которой определяются с,  %, удовлетворяющие заданным значениям.

На печать также выводится упрощенная передаточная функция

Zero/pole/gain:

0.2811 (z-0.9048) (z-0.6065)

----------------------------

(z-0.99) (z+0.05173)

у которой учитываются нули и полюса по модулю с точностью .

Полученная передаточная функция  имеет устойчивые полюса ,  по модулю меньше единицы и, следовательно, алгоритм вычисления управляющего сигнала

будет работать устойчиво, т.е. ошибки вычисления накапливаться не будут.

Рис. 10

Расчётная часть

1. Для исходных данных , с, с,  рад/с и заданного преподавателем варианта задания с помощью сочетания данных таблицы 1, методом ЛАХ и ЛФХ провести синтез дискретной коррекции с передаточной функцией .

Таблица 1

Вариант задания	, с			, с	, %
1	0,08	0,04	25	1,0	30
2	0,07	0,02	50	1,1	30
3	0,06	0,01	100	1,2	30
4	0,05	0,005	200	1,3	30
5	0,04	0,01	100	1	30

2. Построить переходную характеристику скорректированной замкнутой системы и определить показатели качества , . Если полученные показатели качества не удовлетворяют заданным , , то повторить процедуру синтеза, увеличив запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

3. Записать алгоритм управления ЦВМ в виде выражения (20).

Экспериментальная часть

1. В системе Simulink провести моделирование системы (рис. 1) с помощью модели представленной на рис. 11. Здесь приняты обозначения передаточных функций W0  и Wkd , которые определены ранее и присвоены блокам модели. Переключение входного сигнала осуществляется с помощью ключа "KL".

Рис. 11

Построить переходной процесс по ошибке  для входного сигнала ,  рад/с и определить установившуюся ошибку , которую сравнить с заданной.

Контрольные вопросы

1. Для какой цели используется идеальный импульсный элемент?

2. От чего зависит динамика процессов между моментами квантования?

3. В чем отличие z-преобразования от преобразования Лапласа?

4. От чего зависит установившаяся ошибка в дискретных системах?

5. В чем отличие частотных характеристик непрерывных и дискретных систем?

6. Для какой цели вводится вспомогательная псевдочастота при построении логарифмических частотных характеристик?

7. Почему для построения желаемой передаточной функции дискретной системы необходимо проводить факторизацию дискретной передаточной функции разомкнутой системы?

8. Каким образом реализуется закон управления по найденной передаточной функции дискретной коррекции?

9. Чем ограничено снизу значение периода квантования по времени?

10. Каким образом можно учесть при расчете дискретной коррекции время преобразования сигналов и счета ЦВМ?

Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. – С.-Петербург: изд. «Профессия», 2003.

2. Шамриков Б.М. Основы теории цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1985.

3. Гаркушенко В.И., Земляков А.С., Файзутдинов Р.Н. Нелинейные и дискретные системы автоматического управления. Уч. пособие. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2000.