Математическое описание процесса квантования по времени

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОЙ КОРРЕКЦИИ

Казань 2007

Содержание

1. Общие сведения. 3

1.1 Математическое описание процесса квантования по времени. 4

1.2 Описание алгоритма управления ЦВМ.. 8

1.3. Математическое описание ОУ.. 10

1.4 Процедура синтеза дискретного корректирующего устройства. 13

2. Расчётная часть. 22

3. Экспериментальная часть. 23

Список литературы.. 24

Цель работы: проведение синтеза дискретной коррекции по ошибке основного контура следящей системы с помощью вычислительного пакета MATLAB и системы Simulink.

Общие сведения

Отличительной особенностью современных САУ является наличие в контуре управления ЦВМ, выполняющей функции устройства сравнения, корректирующего устройства, а также формирование программного сигнала. На рис. 1 представлена структурная схема цифровой САУ (ЦСАУ), в которой ЦВМ выполняет функции устройства сравнения и регулятора, формирующего по алгоритму управления (АУ) на выходе управляющий сигнал.

Здесь на вход системы подается непрерывный командный сигнал , который заранее неизвестен (в этом случае система называется следящей). С помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) сигнал преобразует в дискретный сигнал  для моментов времени ,  с периодом квантования по времени . Сигнал  поступает в ЦВМ, в которой с учетом сигнала обратной связи  формируется рассогласование  и управляющий сигнал, поступающий на вход цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). ЦАП с помощью формирователя импульсов (Ф) преобразует дискретный сигнал в кусочно-постоянный

                       при , .               (1)

который подается на исполнительное устройство. Здесь в качестве обобщенного ОУ рассматривается совокупность исполнительного устройства, объекта управления и датчика измерения выхода  с общей передаточной функцией . При правильной работы системы выход систему  должен отслеживать входной сигнал .

В дальнейшем для простоты будем полагать, что ошибками квантования по уровню АЦП и ЦАП можно пренебречь.

Математическое описание процесса квантования по времени

Для построения структурной схемы рис. 1 перепишем выражение (1) в эквивалентном виде:

                           ,                    (2)

где  при ,  при . В формуле (2) выражение под знаком суммы  определяет единичный импульс шириной  для момента времени  (рис.2).

Тем самым в текущий момент времени  в выражении (2) всегда присутствует только один импульс.

Для упрощения формы записи выражения (2) перейдем к его преобразованию Лапласа:

              ,                 (3)

где

,

(4)

передаточная функция формирователя импульсов (Ф),

.

(5)

Изображению (5) с учетом равенства  соответствует оригинал

                        ,                    (6)

где - функция, обладающая свойством:

                                .

Таким образом, процесс формирования импульсов (2) можно представить с помощью схемы, приведенной на рис. 3, где для формирования сигнала  используется идеальный импульсный элемент (ИЭ), на выходе которого формируется последовательность - функций, умноженных на значение функции  в дискретные моменты времени .

Отметим, что идеальный ИЭ, обозначенный на рис. 3 в виде "ключа", также как и передаточная функция  не имеют физического смысла, поскольку идеальный ИЭ введен в схему в результате математических преобразований. Кроме того, идеальный ИЭ рис. 3 отличается от ключей изображенных на рис. 1, которые обозначают прерывание сигналов.

Однако использование идеального ИЭ позволяет представить любой реальный импульсный элемент, формирующий импульсы произвольной формы, в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента и формирователя импульса. При этом передаточную функцию формирователя можно отнести к непрерывной части системы и рассматривать импульсную систему как последовательное соединение идеального импульсного элемента и передаточной функции непрерывной части [3].

Тогда структурную схему рис. 1 можно представить в эквивалентном виде рис. 4, где на выходе идеального ИЭ формируется сигнал

                        ,                    (7)

который после прохождения передаточной функции ЦВМ преобразуется в сигнал (6).

Сигналу (7) соответствует изображение Лапласа

                                         .                                    (8)

Введем обозначение , где , тогда выражение (8) можно записать с помощью различных равносильных обозначений в виде

,

(9)

которое называется односторонним  – преобразованием функции . Тем самым различным функциям , порождающим решетчатую функцию , соответствует одно и тоже изображение . Наоборот, изображению  соответствует единственный оригинал , который может быть найден с помощью таблиц преобразований [1].

Пример 1. Для сигнала  найдем

                   ,

при , что равносильно условию , которое выполняется для оператора Лапласа  при . Тем самым получили формулу

(10)

Пример 2. Для сигнала  найдем

                         ,                            (11)

Умножим обе части уравнения (11) на :

                     .                       (12)

Теперь вычитая выражение (12) из выражения (11) получим

,

или

.

Отсюда окончательно найдем

.

(13)

Пример 3. Для сигнала  найдем

      ,

при , что равносильно условию , которое выполняется для оператора Лапласа  при . Тем самым получили формулу

,

(14)

из которой при  следует формула (10).