Синтез коррекций по команде и возмущению

Найдем передаточные функции , , при которых в замкнутой системе обеспечивается независимость ошибки  от команды  и возмущения . Данное свойство называется инвариантностью системы по входу и возмущению соответственно.

Запишем выражение ошибки  для системы рис. 1:

,

из которого с учетом обозначения  найдем

              .             

Для выполнения условия , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

,

.

Отсюда следуют выражения для искомых передаточных функций:

                                        ,                                       (10)

                                        .                             (11)

Необходимо отметить, что условия инвариантности (10), (11) не зависят от вида , что позволяет независимо проводить синтез коррекций.

С учетом выражений

,

получим

                                     ,                          (12)

                                      .                                    (13)

Из выражений (12), (13) следует, что порядок числителя превышает порядок знаменателя передаточной функции, т.е. данные передаточные функции физически нереализуемы. В тоже время, если в (13) пренебречь малой постоянной времени , то  является коэффициентом передачи.

Таким образом, не удается добиться полной компенсации воздействий  и . Однако, можно существенно снизить влияние данных воздействий за счет приближенных коррекций с малой постоянной времени :

                                     ,                          (14)

                                      .                                    (15)

Выбор электрических схем корректирующих устройств

Для реализации корректирующих устройств необходимо выбрать соответствующую электрическую схему по виду передаточных функций (9), (14), (15). Возможно несколько схемных решений данной задачи, при этом наилучшим считается решение с наименьшим числом элементов электрической схемы.

В качестве примера составим электрическую схему корректирующего устройства по передаточной функции (9), которую представим в виде произведения двух передаточных функций:

                               .                    (16)

Поскольку , то для реализации первой передаточной функции согласно таблице П.1 (Приложение В) можно использовать интегро-дифференцирующую цепь. Учитывая, что у второй передаточной функции , используем активную дифференцирующую цепь. Тогда электри­ческая схема корректирующего устройства будет иметь вид рис. 7, где значения сопротивлений и емкостей определяются по формулам таблицы П.1

Рис. 7

При последовательном соединении пассивных цепей необходимо разместить между ними усилители с целью исключения взаимного влияния пассивных цепей друг на друга.

Расчётная часть

1. Для исходных данных  рад/В,  рад/(Нм), с,  с,  рад/с,  Нм и заданного преподавателем варианта задания с помощью сочетания данных таблицы 1 методом ЛАХ и ЛФХ провести синтез последовательной коррекции с передаточной функцией .

Таблица 1

Вариант задания	, рад		, с	, %
1	0,04	50	1	30
2	0,02	100	0,75	30
3	0,01	200	0,5	30
4	0,005	400	0,25	30
5	0,01	200	1	30

2. Построить переходные характеристики нескорректированной и скорректированной замкнутой системы аналогичные рис. 4 и рис. 6.

3. По передаточным функциям  и ,  (при с) построить электрические схемы корректирующих устройств и определить их параметры.

Экспериментальная часть

1. В системе Simulink составить модель замкнутой системы по структурной схеме рис. 1, которая представлена на рис. 7. Здесь приняты обозначения: W0 , W0f , Wk , Wkg , Wkf .

Задание передаточных функций W0, W0f, Wk, Wkg, Wkf в S-модели проводится с помощью блоков LTI System, выбор которых осуществляется с помощью окна Simulink Library Browser из раздела меню Control System Toolbox. После раскрытия LTI блока указывается его имя, как показано на рис. 7.

Коммутация сигналов в схеме рис. 7 осуществляется с помощью усилителей с коэффициентом передачи 0 или 1 и ключей, расположенных в разделе Simulink,блоке Signal Routing. Для исключения сигнала можно его обнулить в соответствующем блоке задающего сигнала.

Рис. 7

Задание выражений указанных передаточных функций для рассмотренного выше варианта осуществляется в результате выполнения программы в Script-файле:

 %Передаточные функции ОУ

 kdv=1;kdvf=0.1;kpas=100;Tdv=0.1;Ty=0.01;T=0.01;T3=1/1;T4=1/2.5;

 W0=tf([kpas],[1 0])*tf([1],[Tdv 1])*tf([1],[Ty 1]);

 W0f=tf([kdvf],[1 0])*tf([1],[Tdv 1]);

 %Передаточная функция коррекции по ошибке

 Wk=tf([T4 1],[T3 1])*tf([T4 1],[T3 1])*tf([Tdv 1],[Ty 1]);

 %Передаточная функция коррекции по команде

 Wkg=1/kpas*tf([1 0],[T 1])*tf([Tdv 1],[T 1])*tf([Ty 1],[T 1]);

 %Передаточная функция коррекции по возмущению

 Wkf=kdvf/kpas*tf([Ty 1],[T 1]);

После выполнения данной программы можно приступать к моделированию системы рис. 7 для различных вариантов схемы и входных воздействий, полагая  рад/с,  Нм,  рад/с. Результаты моделирования занести в таблицу 2. Здесь  – максимальное значение ,  – установившееся значение или амплитуда установившихся колебаний  за время переходного процесса , которое оценивается визуально.

Таблица 2.

						,с
	0	–	–
	0	+	–
0		–	–
0		–	+
	0	–	–
	0	+	–
0		–	–
0		–	+
		–	–
		+	+

Примечание. В таблице знак "+" означает наличие в законе управления (1) указанной передаточной функции, а знак "–" – ее отсутствие.

По результатам моделирования сделать вывод о влиянии коррекций ,  на качество переходных процессов замкнутой, возможности повышения астатизма системы.

Контрольные вопросы

1. За счет чего в замкнутой системе можно уменьшить установившуюся ошибку?

2. Как влияет частота среза на время переходного процесса в замкнутой системе?

3. От чего зависит величина перерегулирования замкнутой системы?

4. Как определяются запасы устойчивости по амплитуде и фазе на ЛАХ и ЛФХ?

5. Как зависит устойчивость замкнутой системы от вида ЛАХ разомкнутой системы в области высоких частот?

6. Для чего ЛАХ корректирующего устройства в области высоких частот должна иметь нулевой наклон?

7. Можно ли использовать приведенную методику синтеза последовательной коррекции минимально-фазовых систем для синтеза неминимально-фазовых систем?

8. Что препятствует достижению полной инвариантности системы?

9. Для каких систем возможна реализация полной инвариантности системы по возмущению?

10. Какими свойствами обладает система с приближенной инвариантностью по команде и возмущению?

Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. – С.-Петербург: изд. «Профессия», 2003.

2. Теория автоматического управления / Под ред. В.Б. Яковлева – М.: Высшая школа, 2005.

ПРИЛОЖЕНИЕ А Показатели качества переходной характеристики

Для оценки свойств переходных процессов устойчивой системы используется график реакции выхода системы на ступенчатое воздействие ,  при нулевых начальных условиях. Пример реакции  при  приведен на рис. П.1.

Здесь определяются следующие прямые показатели качества:

1) установившаяся ошибка ;

2) время регулирования  – минимальное время, по истечении которого выходная координата  входит в трубку величиной  и не покидает ее, т.е. выполняется условие  для  (обычно );

3) перерегулирование , которое определятся по формуле

                                          %.                                          

Наилучшим считается процесс с наименьшими значениями указанных показателей качества.

Рис. П.1

ПРИЛОЖЕНИЕ Б