Синтез последовательной коррекции по ошибке

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

Казань 2007

Содержание

1. Общие сведения. 3

1.1 Синтез последовательной коррекции по ошибке. 5

1.2 Синтез коррекций по команде и возмущению.. 14

1.3 Выбор электрических схем корректирующих устройств. 16

2. Расчётная часть. 17

3. Экспериментальная часть. 17

Список литературы.. 20

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Методика построения асимптотической ЛАХ и ЛФХ.. 22

ПРИЛОЖЕНИЕ В Электрические схемы корректирующих цепей. 23

Цель работы:проведение синтеза непрерывной коррекции по ошибке основного контура САУ, а также по команде и возмущению для повышения точности следящей системы; выбор электрической схемы реализации коррекции.

Общие сведения

Рассмотрим следящую систему, обобщенная структурная схема которой имеет вид, показанный на рис. 1. Здесь на вход системы подается измеряемый заранее неизвестный командный сигнал  от задающего устройства (например, при ручном управлении), который отслеживается регулируемой величиной . При этом на объект управления (ОУ) действует возмущающее воздействие , для которого также предполагается возможность его измерения или получения оценки его значения.

Управляющий сигнал  формируется по измеряемым значениям сигналов , ,  в соответствии с выражением:

                        ,              (1)

где , ,  – передаточные функции, подлежащие определению.

В качестве обобщенного ОУ рассмотрим последовательно соединенные усилитель мощности, двигатель постоянного тока с независимым возбуждением и якорным управлением, редуктор и нагрузку. При этом выходной координатой  является угол поворота вала редуктора, жестко связанного с инерционной нагрузкой. Пренебрегая индуктивностью якоря, нелинейностями характеристик двигателя, редуктора и усилителя мощности, передаточные функции ОУ можно представить в виде

                             ,

где  – передаточная функция усилителя мощности; ,  – передаточные функции двигателя с учетом редуктора и инерционной нагрузки.

С учетом инерционности усилителя мощности, его передаточная функция имеет вид

                                               ,

где  – постоянная времени (можно взять в 10 раз меньше постоянной времени привода),  – коэффициент усиления, подлежащий определению.

Соответственно полагаем

                          , .

Найдем выражение передаточной функции разомкнутой системы:

          , (2)

где , . Будем считать, что , тогда .

В линейной системе свойство устойчивости не зависит от вида входных воздействий , , а определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы, которое следует из уравнения

                                                                                        (3)

после подстановки в него выражения (2).

Тем самым для обеспечения устойчивости замкнутой системы и придания ей требуемых показателей качества переходных процессов необходимо найти соответствующую передаточную функцию  последовательной коррекции.

Передаточные функции ,  предназначены для формирования вспомогательных управляющих сигналов, позволяющих исключить или снизить влияние входных воздействий ,  на ошибку . Рассмотрим отдельно способы определения указанных передаточных функций.

Синтез последовательной коррекции по ошибке

В качестве закона управления рассмотрим выражение

                                             ,                                    (4)

полагая, что ,  соответствуют наихудшим условиям функционирования системы. При этом требуется, чтобы в замкнутой системе выполнялись следующие прямые показатели качества: , , , где ,  и  – заданные ошибка, время регулирования и перерегулирование (Приложение А).

1. Сначала найдем условие на выбор коэффициента , при котором в замкнутой системе выполняется условие . Для этого найдем выражение для ошибки , полагая, что , :

                           .                  (5)

С учетом (2), изображений ,  найдем значение  по теореме о конечном значении оригинала, предполагая, что замкнутая система устойчивая за счет выбора :

,

где  – скоростная ошибка,  – статическая ошибка.

Значение  максимально, когда ,  одного знака. Полагая, например, ,  при  найдем требуемое значение  и :

                                      , .                             (6)

2. Найдем передаточную функцию  по заданным показателям качества ,  методом логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ). Для этого будем использовать передаточную функцию  разомкнутой нескорректированной системы с найденным коэффициентом :

                         .                (7)

При этом желаемая передаточная функция разомкнутой системы имеет вид . Тогда по известной передаточной функции  определяется передаточная функция коррекции .

Согласно методу ЛЧХ определение передаточной функции  для минимально-фазовых систем состоит из следующих этапов.

1) По передаточной функции  строится ее асимптотическая ЛАХ , в виде суммы асимптотических ЛАХ типовых звеньев передаточной функции (7). Методика построения асимптотической ЛАХ для произвольной передаточной функции приведена в Приложении Б.

Для принятых значений параметров , с, с асимптотическая ЛАХ  представлена на рис. 2. Здесь =10, =100 – сопрягающие частоты, рад/с.

Для построения ЛАХ  и ЛФХ  можно воспользоваться программой, составленной в Script-файле:

kpas=100;Ty=0.01;Tdv=0.1;%Исходные данные.

%Передаточная функция Wн(p);

Wn=tf([kpas],[Ty 1])*tf([1],[Tdv 1 0])

figure(1);margin(Wn);grid %Построение ЛАХ и ЛФХ для Wн(p);

%Вычисление корней характеристического уравнения 1+Wн(p)=0:

p=esort(tzero(1+Wn))

%Построение переходной характеристики замкнутой

%нескорректированной системы

Wz=feedback(Wn,1); figure(2);step(Wz);grid

Приведенный текст программы можно скопировать из электронной версии лабораторной работы и вставить в рабочее поле m-file, которое открывается при нажатии левой верхней кнопки в среде MATLAB. Затем выполнить программу (с присвоенной ей именем из латинских букв и цифр без пробелов) нажатием кнопки со стрелкой  (Run) на панели инструментов m-file. При этом вычисленные переменные в Script-файле являются глобальными и доступны в любом другом Script-файле, а также в среде MATLAB.

Результат выполнения программы представлен на рис. 3, где указаны запас по амплитуде 0,828 дБ и фазе 1,58 град. Кроме того, вычисляются корни характеристического уравнения (3) при : –0,39 30,26; –109,23. Также осуществляется построение переходной характеристики замкнутой системы (рис. 4):

.

Рис. 3

Рис. 4

Из полученных результатов следует, что нескорректированная система устойчива, но обладает плохими динамическими свойствами.

2) Для заданных показателей качества с, 30% строится желаемая ЛАХ  передаточной функции .

а) Построение ЛАХ в области средних частот:

· Определяется желаемая частота среза  для 30%. Тем самым находится  и .

· Через точку  проводится отрезок ЛАХ с наклоном дБ/дек, у которого слева от  значение , а справа , где , 15 дБ. Тем самым определяется среднечастотный диапазон .

б) Построение ЛАХ в области низких частот:

Сопрягается среднечастотный участок  с низкочастотным участком  нескорректированной системы с помощью сопрягающей части, т.е. отрезка прямой в интервале частот  при , наклон которого не должен отличаться от наклона  в этой области частот более, чем на 20 или 40 дБ/дек.

в) Построение ЛАХ в области высоких частот:

Построение высокочастотного участка  проводится из условия получения наиболее простого корректирующего устройства. Для этого необходимо, чтобы вправо от частоты  желаемая ЛАХ имела наклоны равные наклонам  или отличные от них, не более чем на 20 или 40 дБ/дек, при этом наклоны последних участков должны быть равны наклонам .

Результат построения асимптотической ЛАХ  представлен на рис. 2, где , .

3) По виду желаемой ЛАХ восстанавливается передаточная функция , у которой коэффициент усиления равен  нескорректированной системы. Последовательность восстановления передаточной функции  по асимптотической ЛАХ  осуществляется в соответствии с методикой построения ЛАХ по ее передаточной функции (Приложение Б).

Для рассматриваемой системы получим

                                    ,                           (8)

где с, с.

4) По передаточной функции  строятся ее точные ЛАХ и ЛФХ  и определяются запасы устойчивости по фазе и амплитуде  и . Для передаточной функции (8) получим (рис. 5): 21,4 дБ и 61,2 град, т.е. обеспечиваются желаемые запасы:  дБ,  град.

5) Определяются показатели качества ,  полученной замкнутой системы с передаточной функцией по переходной характеристике

.

6) Если , , то процесс синтеза закончен; в противном случае необходимо повторить процедуру синтеза так, чтобы увеличить запасы устойчивости  и .

Для передаточной функции (8) переходная характеристика  представлена на рис. 6, из которой следует, что с, %, т.е. выполняются заданные показатели качества.

Построение точной ЛАХ и ЛФХ (рис. 5) для передаточной функции (8) и переходной характеристики  (рис. 6) осуществляется с помощью следующего фрагмента программы:

%Построение желаемой асимптотической ЛАХ системы

 kpas=100;Ty=0.01;Tdv=0.1;T3=1/1;T4=1/2.5;%Исходные данные.

 Wg=tf([kpas],[1 0])*tf([T4 1],[T3 1])*tf([T4 1],[T3 1])*...

tf([1],[Ty 1])*tf([1],[Ty 1]);

 figure(5);margin(Wg);grid on;

 %Построение переходной характеристики замкнутой системы

 Wgz=feedback(Wg,1);

 tk=1.4 %Конечное время интегрирования > tp

 figure(6);step(Wgz,tk);hold on;

 t=0:0.1:tk;y1=1.05+0*t;y2=0.95+0*t;

 plot(t,y1,'k--',t,y2,'k--');grid on;

7) Определяется передаточная функция последовательной коррекции по формуле  или с помощью ее логарифмической характеристики , представленной на рис. 2, по виду которой восстанавливается передаточная функция .

Для рассматриваемого случая имеем

                                      .                            (9)

Рис. 5

Рис. 6