Площадь боковой и полной поверхности геометрических тел

9.2.1 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти куба, если его ребро уве­ли­чить в три раза?

9.2.2 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти куба, если его ребро уве­ли­чить в пять раза?

9.2.3 Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 54. Най­ди­те ребро куба.

9.2.4 Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 3, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 234. Най­ди­те ребро куба.

9.2.5 Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 200. Най­ди­те его диа­го­наль.

9.2.6 Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

9.2.7 Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

9.2.8 Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2 и 7. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

9.2.9Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

9.2.10Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

9.2.11Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

9.2.12Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти тре­уголь­ной приз­мы равна 24. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те площадь бо­ко­вой по­верх­но­сти отсечённой тре­уголь­ной приз­мы.

9.2.13Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 43. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

9.2.14Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 43. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

9.2.15Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12π, а диаметр основания равен 6. Найдите высоту цилиндра.

9.2.16Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра.

9.2.17Площадь полной поверхности конуса равна 15. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

9.2.18Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

9.2.19Дано два шара. Ра­ди­ус пер­во­го шара в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

9.2.20 Дано два шара. Ра­ди­ус пер­во­го шара в 60 раз боль­ше ра­ди­у­са вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

9.2.21Радиусы двух шаров равны 9 и 12. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

9.2.22Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей двух дан­ных шаров.

Объем геометрических тел

9.3.1 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если его ребра уве­ли­чить в три раза?

9.3.2 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если его ребра уве­ли­чить в пят­на­дцать раз?

9.3.3 Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 24. Най­ди­те его объем.

9.3.4 Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 54. Най­ди­те его объем.

9.3.5 Объем од­но­го куба в 8 раз боль­ше объ­е­ма дру­го­го куба. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го куба боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го куба?

9.3.6 Объем од­но­го куба в 125 раз боль­ше объ­е­ма дру­го­го куба. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го куба боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го куба?

9.3.7 Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

9.3.8 Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 5. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

9.3.9 Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

9.3.10 Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 7 и 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 63. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

9.3.11 Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

9.3.12 Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

9.3.13 Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы.

9.3.14 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 7, объём призмы равен 56. Найдите боковое ребро призмы.

9.3.15 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, E, F, D₁, E₁, F₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

9.3.16 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, B₁, C₁, D₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 12.

9.3.17 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A₁, B₁, C₁правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

9.3.18 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

9.3.19 Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 18, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

9.3.20 Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 52, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

9.3.21 Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объём этой приз­мы, если объём от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 5.

9.3.22 Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объём этой приз­мы, если объём от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 7.

9.3.23 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB=9, AD=5, AA₁=4.

9.3.24 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB=3, AD=4, AA1=5.

9.3.25 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины D, A₁, B₁, C₁,D₁, E₁, F₁, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.

9.3.26 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершиныA, B, C, D, E, F, D₁, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

9.3.27 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A₁, B₁правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4.

9.3.28 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A₁, B₁правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 8.

9.3.29 В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

9.3.30 В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

9.3.31 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 37, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

9.3.32В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

9.3.33Объём треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость (см. рисунок). Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

9.3.34От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

9.3.35 Объем пер­во­го ци­лин­дра равен 12 м³. У вто­ро­го ци­лин­дра вы­со­та в три раза боль­ше, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния — в два раза мень­ше, чем у пер­во­го. Най­ди­те объем вто­ро­го ци­лин­дра. Ответ дайте в ку­би­че­ских мет­рах.

9.3.36 Объем пер­во­го ци­лин­дра равен 30 м³. У вто­ро­го ци­лин­дра вы­со­та в три раза боль­ше, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния — в два раза мень­ше, чем у пер­во­го. Най­ди­те объем вто­ро­го ци­лин­дра. Ответ дайте в ку­би­че­ских мет­рах.

9.3.37 В цилиндрический сосуд, в котором находится 8 дм³ воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм³.

9.3.38 В цилиндрический сосуд, в котором находится 4 дм³ воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм³.

9.3.39 В цилиндрический сосуд налили 2800 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.

9.3.40 В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 см³ воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в см³.

9.3.41 В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

9.3.42 В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

9.3.43 В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

9.3.44 В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

9.3.45 Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

9.3.46 Одна ци­лин­дри­че­ская круж­ка вдвое выше вто­рой, зато вто­рая в пол­то­ра раза шире. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма вто­рой круж­ки к объ­е­му пер­вой.

9.3.47 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 25 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

9.3.48 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 12 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

9.3.49 Объем ко­ну­са равен 16. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем мень­ше­го ко­ну­са с той же вер­ши­ной. Най­ди­те объем мень­ше­го ко­ну­са.

9.3.50 Объем ко­ну­са равен 10. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем мень­ше­го ко­ну­са с той же вер­ши­ной. Най­ди­те объем мень­ше­го ко­ну­са.

9.3.51 Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 5 раз, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

9.3.52 Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 6 раз, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

9.3.53 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем ко­ну­са, если ра­ди­ус его ос­но­ва­ния уве­ли­чит­ся в 1,5 раза, а вы­со­та оста­нет­ся преж­ней?

9.3.54 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем ко­ну­са, если ра­ди­ус его ос­но­ва­ния уве­ли­чит­ся в 22 раза, а вы­со­та оста­нет­ся преж­ней?

9.3.55 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в три раза?

9.3.56 Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в четыре раза?

9.3.57 Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

9.3.58 Ра­ди­у­сы трех шаров равны 1, 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.