Непрерывность функции двух переменных в точке

Основные понятия и определения

Пусть на некотором подмножестве D  определена функция z = f(x,y)и точка принадлежит этому подмножеству.

Определение по Коши.Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке , если для .

Определение через предел.Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при x = , y = :

При этом должны соблюдаться следующие три условия:

1) функция должна быть определена в точке  и в некоторой её окрестности;

2) предел функции

3) этот предел должен равняться значению функции z = f(x,y)при x = , y = .

Определение на языке приращений.Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена, и бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е.

Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности этой функции. Если условие непрерывности функции в точке  нарушено, то в этой точке функция имеет разрыв и эту точку называют точкой разрыва функции.

Для функций двух переменных справедливы теоремы о непрерывных функциях одной переменной.

Примеры

Пример 11.Исследовать функцию на непрерывность в точке .

Решение.

1)  – функция определена в точке .

2) Проверим, существует ли общий предел в данной точке:

Используем тригонометрическую формулу

и первый замечательный предел:

Общий предел существует.

3)  ⇒ функция не является непрерывной в точке .

Ответ:функция терпит разрыв в точке  [5, c. 178].

Пример 12.Исследовать функцию на непрерывность в точке .

Решение.

1)  – функция определена в точке .

2)

Перейдём к полярным координатам: .

Если , то .

Общий предел существует.

3)

⇒ функция является непрерывной в точке .

Ответ:функция непрерывна в точке [5, с. 179].

Пример 13.Исследовать функцию на непрерывность в точке .

Решение.

1)  – функция определена в точке .

2)

3)

Ответ:функция непрерывна в точке [4, с. 164].

Пример 14.Исследовать функцию на непрерывность в точке .

Решение.

1)  – функция определена в точке .

2) Проверим, существует ли общий предел в данной точке:

Используем тригонометрическую формулу

и первый замечательный предел:

3)

Ответ: функция непрерывна в точке [5, с. 178].

Непрерывность функции нескольких переменных в точке