Основные понятия и определения

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

§ 1. Непрерывность функции одной переменной в точке. 5

1.1. Основные понятия и определения. 5

1.2. Примеры.. 6

§ 2. Непрерывность функции двух переменных в точке. 15

2.1. Основные понятия и определения. 15

2.2. Примеры.. 16

§ 3. Непрерывность функции нескольких переменных в точке. 20

3.1 Основные понятия и определения. 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 22

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 23

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования.Оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем  мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения – непрерывно или дискретно, т.е. скачкообразно. Равномерно ли понижается курс валюты или обваливается, происходит постепенная эволюция или революционный скачок? Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны (непрерывны), и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t).

К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его, так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. Всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды без всяких просветов, непрерывно распределенной в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности играет в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль[6, с. 127].

Объект исследования:функции n-переменных.

Предмет исследования:непрерывность функции в точке.

Цель курсовой работы:исследовать на непрерывность функции одной переменной и двух переменных в точке.

Основные задачи исследования:

1. Определить основные понятия непрерывности функции в точке для функции одной переменной и исследовать этот вид функций на непрерывность в точке.

2. Определить основные понятия непрерывности функции в точке для функции двух переменных и исследовать этот вид функций на непрерывность в точке.

3. Определить основные понятия непрерывности функции в точке для функции нескольких переменных.

Основные методы исследования:изучение литературы по теме, самостоятельное решение задач.

Практическая значимостьпроведённого исследования состоит в том, что в нём подобран материал по теме курсовой работы и решены задачи.

На защиту выносится:теоретический и практический материал по теме исследования.

Курсовая работа состоит из введения, трех параграфов и заключения.

Список литературы содержит 7наименований.

Непрерывность функции одной переменной в точке

Основные понятия и определения

Пусть на некотором промежутке X определена функция y = f(x)и точка принадлежит этому промежутку.

Определение по Коши.Функция y = f(x) называется непрерывной в точке , если для [7,с.108].

Определение через предел.Функция y = f(x) называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при x = :

При этом должны соблюдаться следующие три условия:

1) функция должна быть определена в точке ;

2) предел функции должен существовать;

3) этот предел должен равняться значению функции y = f(x)при x = .

Замечание.Существование  равносильно тому, что существуют равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при  , т.е.

Определение на языке приращений.Функция y = f(x) называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е.

Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности этой функции.

Если условие непрерывности функции в точке  нарушено, то в этой точке функция имеет разрыв и эту точку называют точкой разрыва функции[1, с. 164].

Теорема 1.Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке . Тогда сумма, разность и произведение этих функций также непрерывны в точке .

Теорема 2.Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке . Тогда частное этих двух функций также непрерывно в точке , если делитель отличен от нуля при x = [3, с. 322].

Теорема 3.Пусть функция непрерывна в точке и функция f(x) непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке  [2, с.180].

Примеры

Пример 1.Исследовать на непрерывность функцию в точке .

Решение. Для исследования применим определение (1.2). Приращение аргумента равно , тогда приращение функции в этой точке равно:

Условия определения (1.2) выполнены, а значит, функция непрерывна в точке .

Ответ: функция непрерывна в точке [3, с. 323].

Пример 2.Исследовать на непрерывность функцию при x = 3.

Решение.Для исследования применим определение (1.1).

Предел функции при равен значению функции при x = 3, при этом соблюдаются условия применимости определения (1.1). Следовательно, функция  в точке x = 3 непрерывна.

Ответ: функция непрерывна в точке x = 3 [1, c. 166].

Пример 3.Исследовать на непрерывность функцию в точке x = 2.

Решение.Для исследования применим определение (1.1).

Условия определения (1.1) выполнены ⇒ функция непрерывна в точке x = 2.

Ответ: функция непрерывна в точке x = 2 [1, с. 166].

Пример 4.Исследовать на непрерывность функцию в точке x = 1.

Решение.Для исследования применим определение (1.1).

Условия определения (1.1) выполнены ⇒ функция непрерывна в точке x = 1.

Ответ:функция непрерывна в точке x = 1[1, с. 166].

Пример 5.Исследовать на непрерывность функцию в точке x = .

Решение.Для исследования применим определение (1.1).

Условия определения (1.1) выполнены ⇒ функция непрерывна в точке x = .

Ответ: функция непрерывна в точке x = [1, с. 166].

Пример 6.Исследовать на непрерывность функцию в точке x = .

Решение.Для исследования применим определение (1.1).

Условия определения (1.1) выполнены ⇒ функция непрерывна в точке x = .

Ответ: функция непрерывна в точке x = [1, с. 166].

Пример 7.Исследовать на непрерывность функцию в точке x = .

Решение.Для исследования применим определение (1.1).

Условия определения (1.1) выполнены ⇒ функция непрерывна в точке x = .

Ответ: функция непрерывна в точке x = [1, с. 166].

Пример 8.Функция f (x)определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0, x = 1, x = 3?

Решение.Проверим все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке.

1)  – функция определена в точке x = 0.

Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел в этой точке: