Построение уравнения регрессии

Выполним требование построения уравнения регрессии вида (1) с учетом оставленных для дальнейших исследований факторов x_ji. Для построения статистической модели, характеризующей значимость и точность найденного уравнения регрессии, используем табличный процессор «Excel», применив команды «Сервис»/ «Анализ данных»/ «Регрессия».

В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал Y» вводим данные по производительности труда, включая название реквизита. В поле «Входной интервал X» вводим данные по выбранным влияющим факторам (фондовооруженность и процент прибыли). При этом вводимые данные должны находиться в соседних столбцах. Затем устанавливаем флажки в окнах «Метки» и «Уровень надежности». Установим переключатель «Новый рабочий лист» и поставим флажки в окошках «Остатки». После всех вышеперечисленных действий нажимаем кнопку «ОК» в диалоговом окне «Регрессия». Далее производим форматирование полученных результатов расчета коэффициентов уравнения регрессии и статистических характеристик и, таким образом, получаем таблицы № 5,6,7,8.

Следовательно, искомое уравнение регрессии имеет вид:

Y= 62,425+ 0,64x₂ + 8,643x₃

Полученное уравнение описывает зависимость экономического параметра производительности труда от технических  - фондовооруженности и процента прибыли. Получаем следующие таблицы:

Таблица №5

Таблица №6

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	677763,4472	338881,7236	392,4843827	5,93578E-15
Остаток	17	14678,26379	863,4272815
Итого	19	692441,711

В таблице № 6 df - число степеней свободы, которое определяется по формуле: df = n - (k + 1), где n - число строк в таблице исходных данных (в данном слу­чае n = 20); k - число аргументов.

    F - критерий Фишера. Значимость F - вероятность принятия «нулевой гипо­тезы» по всему уравнению в целом.

Таблица №7

В таблице № 7 Р-Значение - это вероятность принятия «нулевой гипотезы» по каждому коэффициенту. В рассматриваемой задаче нулевую гипотезу можно отвергнуть.

Коэффициенты представляют собой значения свободного члена уравнения регрессии и коэффициентов уравнения регрессии.

t-статистика находится как отношение столбца «Коэффициенты» к столбцу «Стандартная ошибка».

Нижние 95% и верхние 95%, а также нижние 99% и верхние 99% - границы нахождения значений коэффициентов регрессии. Значения считаются экономически достоверными, если лежат в достаточно узком однознаковом диапазоне. Коэффициенты рассматриваемой регрессии удовлетворяют этому требованию.

Таблица №8

Вывод остатка

Уравнение линейной регрессии будем определять для выбранных влияющих факторов: у - производительность труда (тыс. руб./чел.), x₂ - фондовооруженность труда (тыс. руб./чел.), х_з - процент прибыли (тыс. руб./тыс. руб.).

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

Y= 62,425+ 0,64x₂ + 8,643x₃

Полученное уравнение описывает зависимость экономического параметра производительности труда от фондовооруженности и процента прибыли.

После определения уравнения регрессии следует оценить достоверность полученной зависимости.

ГЛАВА 3. Экономический анализ полученных результатов

Найденные численные значения линейной модели характеризуют статистическую значимость, как самого уравнения, так и его параметров. Экономико-математический анализ состоит в исследовании конечной модели и экономической интерпретации результатов решения.

Полученные коэффициенты уравнения множественной регрессии, устанавливающие зависимость производительности труда от фондоотдачи и процента прибыли, показали достоверность наличия связи между этими показателями.

Для определения статистической значимости в целом найденного уравнения регрессии нами были использованы критерий Фишера и критерий Стьюдента.

Оценка достоверности зависимости y от x_i производится по величине коэффициента множественной детерминации R², который для данной задачи равен 0,98. Он характеризует ту часть или долю вариации зависимой переменной, которая обусловлена влиянием на нее отобранных, то есть включенных в модель факторов.

Основным показателем тесноты линейно-корреляционной связи y и x_i служит коэффициент множественной корреляции R, который для данной задачи равен 0,99 и считается как корень квадратный из коэффициента множественной детерминации. Это свидетельствует о том, что между y и x_1, x_2… имеется более или менее сильная корреляционная зависимость.

Стандартная ошибка дает только общую оценку степени точности коэффициента регрессии.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F- критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Н₀, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b_i = 0, и, следовательно, фактор x_i не оказывает влияния на результат у. Значение F-критерия признается достоверным, если оно больше табличного, тогда нулевая гипотеза отклоняется и уравнение регрессии признается значимым. В данной задаче значимость F близка к нулю, т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы.

Параметры b_i, называются коэффициентами регрессии, величина каждого из которых показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В таблице «Дисперсионный анализ» приведены стандартные ошибки для коэффициентов регрессии: для фондовооруженности 0,03, а для процента прибыли 0,78.

Свободный член уравнения регрессии может не иметь экономического содержания. В рассматриваемой задаче то, что а > 0, свидетельствует об опережении изменения факторов над изменением результата.

По табличному t-критерию Стьюдента определяется значимость коэффициентов регрессии. В данной задаче они признаются значимыми, т.к. t_ф> t_кр.

В таблице «Дисперсионный анализ» Р-значение характеризует вероятность принятия нулевой гипотезы по каждому коэффициенту регрессии. В рассматриваемой задаче нулевую гипотезу можно отвергнуть, т.к. Р-значение для каждого коэффициента близко к 0.

Графы таблицы «Дисперсионный анализ», где указаны нижние 95% и верхние 95%, а также нижние 99% и верхние 99%, показывают границы нахождения значений коэффициентов регрессии. Значения считаются экономически достоверными, если лежат в достаточно узком однознаковом диапазоне. Коэффициенты рассматриваемой регрессии удовлетворяют этому требованию.

Модель у_i' ряда y_i считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты этого ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента ε_i = y_i-у_i', где i = 1÷n, удовлетворяла следующим свойствам:

§ случайность колебаний уровней остаточной последовательности;

§ соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

§ равенство нулю математического ожидания случайной компоненты;

§ независимость значений уровней случайной компоненты.

Таким образом, уравнение регрессии признается достоверным.

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМ РАСЧЕТОВ ПО ПРОВЕРКЕ СВОЙСТВ

ОСТАТОЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ