Степеневі ряди. Розкладання функцій в ряд.

Екзаменаційна сесія

Модуль №5. Теорія поля та ТФКЗ

5. Обчислення дивергенції та ротора векторного поля. Формули Остроградського-Гауса, Стокса. Потенціальні поля.

6. ТФКЗ. Ряди. Лишки та їх застосування при обчисленні інтегралів.

Модуль №6. Теорія ймовірностей та математична статистика

7. Дії над випадковими подіями. Формули Байєса, Бернуллі.

8. Дискретні та неперервні випадкові величини. Числові характеристики.

Завдання для самостійної роботи

Нижче наведені номери завдань для І – го варіанту. Номер варіанту відповідає останній цифрі в номері залікової книжки студента. Наприклад, якщо остання цифра номера залікової книжки студента 4, то потрібно розв’язувати наступні задачі: 4, 14, 24, ...; якщо 10, то – 10, 20, 30, ...

Технічні спеціальності (прискорений термін навчання)

ІІІ курс, V семестр

КЗ1: №№ 11, 51, 141, 231, 281, 301, 311, 381.

IIІ курс, VІ семестр

КЗ2: №№ 321, 401, 431, 481, 521, 551.

Всі номери прикладів взяті з методичного посібника для студентів-заочників “Высшая математика” под ред. Артюнова Ю.С. М.: Высшая школа, 1985г.

Нижче наведені приклади для самостійного розв’язання при підготовці до іспиту. Обов’язковим є виконання студентом завдань свого варіанту.

11-20. Дано координати вершин піраміди  Знайти:

1) довжину ребра

2) кут між ребрами  і  

3) кут між ребром  і гранню ;

4) площу грані

5) об’єм піраміди;

6) рівняння прямої ;

7) рівняння площини ;

8) рівняння висоти, опущеної з вершини  на грань . Зобразити на рисунку.

51-60. Дано систему лінійних рівнянь

Довести її сумісність і розв’язати двома способами: 1) методом Гауса; 2) засобами матричного числення.

51.                               52.

53.             54.

55.             56.

57.                 58.

59.          60.

141-150. Знайти похідні  даних функцій.

141. а)

  б)

  в)

  г)

  д) .

142. а)

   б)

   в)

   г)

   д) .

143. а)

  б)

  в)

  г)

  д) .

144. а)

  б)

   в)

   г)

   д) .

145. а)

   б)

   в)

   г)

   д) .

146. а)

   б)

   в)

   г)

   д) .

147. а)

   б)

   в)

   г)

   д) .

148. а)

   б)

   в)

   г)

   д) .

149. а)

   б)

   в)

   г)      

   д) .

150. а)

   б)

   в)

   г)

   д)

231-240. Дано функцію z = f(x; y). Показати, що

.

231.                    ;

232.        ;

233.        ;

234.                                       ;

235.                       

236.                                    

237.                                       

238.                                  ;

239.                       

240.       .

281-290. Знайти невизначені інтеграли. У п. а) і б) результати перевірити диференціюванням.

281. a)                                          б)

    в)                                                        г)

282. a)                                                 б)

    в)                                        г)

283. a)                                                    б)

    в)                                г)

284. a)                                    б)

    в)                                    г)

285. a)                                                б)

     в)                                  г)

286. a)                                                  б)

    в)                                           г)

287. a)                                      б)

    в)                                           г)

288. а)                                          б)

    в)                                                     г)  

289. а)                                           б)

    в)                                        г)

290. а)                                            б)

       в)                                           г)

301-310. Обчислити невласний інтеграл або довести його розбіжність.

301.                                                              302.

303.                                                         304.

305.                                                             306.

307.                                                                 308.

309.                                                      310.

311. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою у = 3x² + 1 і прямою у = 3х + 7.

312. Обчислити площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди х = а (t – sin t),                  y = a(1 – cos t) (0)  і віссю Ох.

313. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою r = 3 (1+cos φ ).

314. Обчислити площу фігури, обмеженої чотирьохпелюстковою трояндою r = 4 sin 2  .

315. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі Ох фігури, обмеженої параболами у = х² і у = .

316. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі Ох фігури, обмеженої напівеліпсом у = 3  параболою х =  і віссю Оу.

317. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі Оу фігури, обмеженої кривими у =  і у = x².

318. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи у =  від точки А(2; 0) до точки B(6; 8).

319. Обчислити довжину кардіоїди r =3 (1 – cos  ).

320. Обчислити довжину однієї арки циклоїди х = 3 (t – sin t), y = 3 (1 – cos t) (0 ).

321-340. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

321. .

322. .

323. .

324. .

325. .

326. .

327. .

328. .

329. .

330. .

331. .

332. .

333. .

334. .

335. .

336. .

337. .

338. .

339. .

340. .

341-350. Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам , .

341. ;               , .

342. ;            , .

343. ;                                 , .

344. ;                      , .

345. ;             ,  .

346. ;              , .

347. ;              , .

348. ;                          , .

349. ;                        , .

350. ;                          , .

381-390. Обчислити за допомогою потрійного інтеграла об’єм тіла, обмеженого зазначеними поверхнями. Побудувати зображення даного тіла і його проекції на площину хОу.

381.

382.

383.

384.

385.

386.

387.

388.

389.

390.

401-410. Дано векторне поле F =Xi +Yj +Zkі площинаАх + Ву + Сz + D = 0 (p), яка разом з координатноюплощиною утворює піраміду V. Нехай  – основа піраміди, що належить площині (р);  – контур, що обмежує , n–нормаль до , спрямована поза пірамідою V. Потрібно обчислити:

1) потік векторного поля Fчерез поверхню  в напрямку нормалі n;

2) циркуляцію векторного поля Fпо замкнутому контуру  безпосередньо і застосувавши теорему Стокса до контуру  й обмеженої їм поверхні  з нормаллюn;

3) потік векторного поля F через повну поверхню піраміди V у напрямку зовнішньої нормалі до її поверхні безпосередньо і застосувавши теорему Остроградского. Побудувати графік.

401.F= (x + z)i; x + y + z – 2 = 0.

402. F = (y – x + z)j; 2x – y + 2z – 2 = 0.

403. F = (x + 7z)k; 2x + y + z – 4 = 0.

404. F = (x + 2y – z)i; –x + 2y + 2z – 4 = 0.

405. F = (2x + 3y – 3z)j; 2x – 3y + 2z – 6 = 0.

406. F = (2x + 4y + 3z)k; 3x + 2y + 3z – 6 = 0.

407. F = (x – y + z)i; –x + 2y + z – 4 = 0.

408. F = (3x + 4y + 2z)j; x + y + 2z – 4 = 0.

409. F = (5x + 2y + 3z)k; x + y + 3z – 3 = 0.

410. F = (x – 3y + 6z)i; –x + y + 2z – 4 = 0.

431-440. Знайти інтервал збіжності степеневого ряда .

431. .

432. .

433. .

434. .

435. .

436. .

437. .

438. .

439. .

440. .

481-490. Подати дану функцію , де  у вигляді ; перевірити, чи є вона аналітичною. Якщо так, то знайти значення її похідної в заданій точці .

481. ,             .

482. ,                .

483. , .

484. ,                   .

485. ,        .

486. ,                  .

487. ,             .

488. ,                 .

489. ,        .

490. ,                 .

521. Студент знає 45 з 60 питань програми. Кожний екзаменаційний білет містить три питання. Знайти ймовірність того, що студент знає: а) всі три питання; б) тільки два питання;         в) тільки одне питання екзаменаційного білета.

522. В кожній з двох урн знаходяться 5 білих і 10 чорних куль. З першої урни переложили до другої навмання одну кулю, а потім з другої урни витягли навмання одну кулю. Знайти ймовірність того, що вийнята куля виявиться чорною.

523. Три стрільці в однакових і незалежних умовах зробили по одному пострілу по одній і тій самій цілі. Ймовірність влучення у ціль першим стрільцем дорівнює 0,9, другим – 0,8, третім – 0,7. Знайти ймовірність того,що: а) тільки один із стрільців влучив у ціль; б) тільки два стрільця влучили у ціль; в) всі три стрільця влучили у ціль.

524. Ймовірність, що подія відбудеться в кожному з однакових і незалежних випробуваннях дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що в 1600 випробуваннях подія відбудеться 1200 раз.

525. Для сигналізації про аварію установлені три незалежно працюючих прилади. Ймовірність того, що при аварії запрацює перший прилад, дорівнює 0,9, другий – 0,95, третій – 0,85. Знайти ймовірність того, що при аварії запрацює: а) тільки один прилад; б) тільки два прилади; в) всі три прилади.

526. Ймовірність, що подія відбудеться в кожному з однакових і незалежних випробуваннях дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що в 150 випробуваннях подія відбудеться 5 раз.

527. У партії з 1000 виробів знаходяться 10 дефектних. Знайти ймовірність того, що поміж 50 виробів, узятих навмання з цієї партії, рівно три виявляться дефектними.

528. Ймовірність, що подія відбудеться в кожному  з однакових і незалежних випробуваннях дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що в 125 випробуваннях подія відбудеться не менше, ніж 75, і не більше, ніж 90 разів.

529. На трьох верстатах при однакових і незалежних умовах виробляються деталі одного найменування. На першому верстаті виробляють 10%, на другому – 30%, на третьому – 60% всіх деталей. Ймовірність кожної деталі бути стандартною дорівнює 0,7, якщо вона вироблена на першому верстаті, 0,8 – якщо на другому верстаті, і 0,9 – якщо на третьому верстаті. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться стандартною.

530. Два брати входять до складу двох спортивних команд, що складаються з 12 осіб кожна. У двох урнах містяться по 12 білетів з номерами від 1 до 12. Члени кожної команди  виймають навмання по одному білету з окремої урни (без повернення). Знайти ймовірність того, що обидва брати витягнуть білет номер 6.

551-560. Відомі математичне очікування  і середнє квадратичне відхилення  нормально розподіленої випадкової величини х. Знайти ймовірність попадання цієї величини в заданий інтервал .

551. , ,      ,      .

552. ,  ,      ,      .

553. ,  ,                   ,      .

554. , ,      ,      .

555. ,  ,      ,      .

556. ,  ,                   ,                   .

557. ,  ,      ,      .

558. ,  ,      ,      .

559. , ,      ,      .

560. , ,      ,      .

Література

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1976.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М: Наука, 1978.

3. Ильин В.А. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М: Наука, 1974, 1979.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Ч 1,2 - М: Наука. 1972, 1978.

5. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. - М: Наука, 1974, 1979.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1977.

7. Краснов М.М., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения). – М: Наука, 1969.

8. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М: Наука, 1969.

9. Паскаленко В.М., Стрелковська І.В., Шкуліпа А.В. Комплексні числа. Навч. посібник для студентів технічних факультетів усіх форм навчання. – О.: ОНАЗ, 2005.

10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М: Наука, 1970.

11. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: учебное пособие. – М.: Издательство МАИ, 1992.

12. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975.

13. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979.

14. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.

15. Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1968.

16. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 1986.

17. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 543 с.

18. Плотников В.М. Курс дискретной математики. Учебное пособие. – О.: ОНАС им. А.С. Попова, каф. ВМ. 2002. – 119 с.

19. Буріменко Ю.І.. Керекеша П.В. Вища математика для менеджерів. Навчальний посібник. – О.: Оптимум, 2001. – 294 с.

20. Акимов О.Е. Дискретная математика. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 376 с.

21. Москвини Г.И. Дискретная математика. – М.: Логос, 2003. – 240 с.

22. Шпинковский О.А., Шпинковська М.І., Котлік С.В. Чисельні методи. – О.: Оптимум, 2003. – 123 с.

23. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 744 с.

24. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т. 1,2. – М: Наука, 1971,1973,1979.

25. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1,2. – М: Высшая школа,1973.

26. Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Т. 1,2. – М: Наука, 1974.

27. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М: Наука, 1969.

28. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М: Наука, 1978.

29. Калиткин Н.С. Численные методы. – М: Наука,1978.

30. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М: Наука,1973.

31. Валуцэ И.И., Димигул Г.Д. Математика для техникумов. М: Наука, 1989.

32. Богомолов М.В. Практические занятия по математике. – К: Высшая школа, 1983.

33. Картавов С.А. Словарь. Математические термины.

34. Овчинников И.И., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. Ч.I,II. – К.: Техніка, 2000.

35. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1973.

36. Поддубный Г.В. Математический анализ для радиоинженеров. – М.: Воениздат, 1976.

37. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988.

38. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1971

39. Кузнецов О.П., Адельсон – Вельський Г.М. Дискретная математика для инженеров. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

40. Бондаренко М.Ф., Белоус Н.В., Руткас А.Г. Компьютерна дискретна математика. – Харьков, Компанія СМИТ, 2004.

41. Плотніков В.М., Соколов Л.І., Стрелковська І.В., Харсун О.М. Дискретна математика. Навчальний посібник. – О.: ОНАЗ ім. О.С. Попова, каф. ВМ, 2003.

42. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и інтегрального исчисления. Т. I, II, III. – М.: Наука, 1970.

43. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. I –V. – Харьков, 1965.

44. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математике. – М.: Высшая школа, 1973.

45. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Диференциальные уравнения. – К.: Вища школа, 1984.

Збірники задач

44. Беклемишев Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1987. – 496 с.

45. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу мат. анализа. – М.: Наука, 1985. – 383 с.

46. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.

47. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1979. – 100 с.

48. Демидович Б.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 544 с.

49. Сборник задач по высшей математике. Под ред. Г.И. Крючковича. – М.: Высшая школа, 1973. – 576 с.

50. Сборник задач по математике: Линейная алгебра и основы мат. анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1983. Ч.1 – 512 с., Ч.2 – 407 с.

51. Высшая математика. Методические указания для студентов-заочников. Под. ред. Ю.С. Арутюнова. – М.: Высшая школа, 1985. – 144 с.

52. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М: Наука,1975.

53. Грибанов В.У., Титов В.У. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964.

54. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987.