Рівняння математичної фізики.

Методичні вказівки

Для самостійного навчання

Студентів спеціальностей “Телекомунікації” СТН форми навчання

Заочного факультету ОНАЗ ім. О.С. Попова

Назва дисципліни: вища математика

Кількість годин: ЛК – 36, Пр – 34, самостійна – 434,             загальна – 504.

Програма дисципліни

Питання до залікових модулів

Модуль №1

“Векторна алгебра та аналітична геометрія”

1. Комплексні числа.

1.1 Уявна одиниця. Уявні числа. Комплексні числа в алгебраїчній формі та дії над ними. [4, с. 218; 9, с. 3; 19, с. 130]

1.2 Комплексні числа у тригонометричній формі та показниковій формі та дії над ними. [4, с. 218; 9, с. 3; 19, с. 130]

Векторна алгебра.

2.1 Вектори. Основні поняття. Лінійні операції над векторами, їх властивості. Проекція вектора на вісь та її властивості. Лінійна залежність векторів. Теореми про лінійно залежні вектори. Базис на площині та у просторі. Розкладання вектора по базису. [1, с. 5; 19, с. 4; 34, с. 12; 54, с. 7]

2.2 Прямокутна декартова система координат. Координати вектора. Зв`язок між лінійними операціями над векторами та їх координатами. [1, с. 14; 19, с. 9; 34, с. 20; 54, с. 23]

2.3 Скалярний добуток векторів, означення, властивості. Скалярний добуток векторів у координатній формі. Векторний добуток векторів, означення, властивості. Векторний добуток векторів у координатній формі. Мішаний добуток векторів, означення, властивості. Мішаний добуток векторів у координатній формі. [1, с. 19; 19, с. 13; 34, с. 44; 54, с. 14]

2.4 Поняття n - вимірного простору, n - вимірний векторний простір. Лінійний простір, Евклідів простір. Лінійні перетворення. Матриця лінійного перетворення. [19, с. 4; 34, с. 12; 54, с. 82]

2.5 Властиві числа та властиві вектори матриці. Канонічні форми. [19, с. 30; 34, с. 96]

Аналітична геометрія.

3.1 Площина. [1, с. 45; 19, с. 45; 34, с. 113; 54, с. 30]

3.2 Рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно до даного вектора. [1, с. 59; 19, с. 46; 34, с. 115; 54, с. 30]

3.3 Загальне рівняння площини. [1, с. 45; 19, с. 45; 34, с. 115; 54, с. 30]

3.4 Рівняння площини, що проходить через 3 дані точки. [1, с. 59; 19, с. 46; 34, с. 116; 54, с. 30]

3.5 Рівняння площини “у відрізках” на осях. Деякі інші рівняння площини. Кут між двома площинами. Умова паралельності та перпендикулярності двох площин. [1, с. 61; 19, с. 47; 34, с. 116; 54, с. 30]

3.6 Пряма на площині та у просторі. Загальне рівняння прямої на площині та у просторі. [1, с. 45; 19, с. 49; 34, с. 129; 54, с. 30]

3.7 Канонічні та параметричні рівняння прямої на площині та у просторі. [1, с. 45; 19, с. 50; 34, с. 129; 54, с. 30]

3.8 Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки на площині та у просторі. [1, с. 59; 19, с. 49; 34, с. 131; 54, с. 30]

3.9 Пряма та площина кут між ними, умови паралельності та перпендикулярності. [1, с. 65; 19, с. 48; 34, с. 136; 54, с. 30]

3.10 Криві та поверхні другого порядку. [1, с. 72; 19, с. 53; 34, с. 141; 54, с. 55]

Лінійна алгебра.

4.1 Визначники 2-го, 3-го порядку, їх властивості та методи обчислення. Визначники порядку n та їх обчислення. [1, с. 142; 19, с. 22; 34, с. 30]

4.2 Матриці, види матриць. Дії над матрицями. Обернена матриця та методи її знаходження: за формулою, методом Жордана - Гауса. Ранг матриці та методи його знаходження: метод елементарних перетворень, метод окаймляючих мінорів. [1, с. 136; 19, с. 17; 34, с. 23; 54, с. 131]

4.3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, основні поняття. Метод Крамера розв`язування СЛАР. Матричний метод розв`язування СЛАР, метод Гауса. [1, с. 154; 19, с. 33; 34, с. 64; 54, с. 160]

4.4 Однорідні СЛАР. Дослідження СЛАР. Теорема Кронекера - Капеллі. [1, с. 154; 19, с. 33; 34, с. 64; 54, с. 160]

Модуль №2 “Диференціальне числення”

Вступ до математичного аналізу.

1.1 Послідовності, основні поняття. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності, їх властивості. [19, c. 62; 24, c. 58-62]

1.2 Збіжні послідовності та їх властивості. Арифметичні теореми про границі послідовностей. Граничний перехід у нерівностях. [19, c. 64; 24, c. 64-68]

1.3 Функції, основні поняття. Означення границі функції (за Коші та Гейне). Арифметичні теореми про границі функцій. Перша та друга “чудові” границі. [4, c. 33-54; 19, c. 66; 24, c. 97, 128; 38, c. 18-71]

1.4 Неперервність функції, точки розриву. Арифметичні теореми про неперервність функцій. Теореми про неперервність елементарних та складних функцій. Властивості функцій, неперервних на інтервалі. Властивості функцій, неперервних на сегменті. [4, c. 54-60; 19, c. 69; 24, c. 105, 133; 38, c. 73-114]

Диференціальне числення.

2.1 Похідна, означення, геометричний та фізичний зміст. Диференційованість функцій. Необхідна та достатня умова диференційованості функції. [4, c. 66-73; 19, c. 77; 24, c. 150-157; 38, c. 116]

2.2 Терема про похідну складної функції. [4, c. 81; 19, c. 80; 24, c. 169; 38, c. 119]

2.3 Теорема про похідну оберненої функції. [4, c. 89-97; 19, c. 81; 24, c. 165; 38, c. 119]

2.4 Теореми про диференційованість результатів арифметичних операцій. Похідні основних елементарних функцій. [4, c. 97, 76-80; 19, c. 80; 24, c. 159; 38, c. 125]

2.5 Логарифмічне диференціювання. [4, c. 80; 24, c. 164, 171; 38, c. 139]

2.6 Диференціювання параметрично заданих функцій. [4, c. 98-104; 24, c. 181; 38, c. 141]

2.7 Диференціал функції, його властивості. [4, c. 107; 24, c. 173-175; 38, c. 154]

2.8 Похідні та диференціали вищих порядків. [4, c. 112-116; 24, c. 176; 38, c. 166]

2.9 Похідна другого порядку параметрично заданої функції. [4, c. 116-118; 24, c. 181; 38, c. 169]

2.10 Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, Лопіталя. [4, c. 131-138; 19, c. 19; 38, c. 174]

2.11 Монотонність функцій та дослідження функцій на монотонність. [4, c. 153; 24, c. 108, 291; 38, c. 181]

2.12 Локальний екстремум функції. [4, c. 155; 19, c. 98; 24, c. 251, 292; 38, c. 183]

2.13 Необхідна умова існування екстремуму. [4, c. 156; 19, c. 98; 38, c. 185]

2.14 Достатні умови існування екстремуму. [4, c. 159, 292; 19, c. 99; 38, c. 186]

2.15 Опуклість графіка функції. Дослідження функції на опуклість. Точки перегину графіка функції. Необхідна умова існування точок перегину графіка функції. Достатня умова існування точки перегину графіка функції. [4, c. 172-178; 19, c. 100; 24, c. 299, 301; 38, c. 196]

2.16 Асимптоти графіка функції. Дослідження функцій та побудова графіка функції за допомогою диференціального числення. [4, c. 178-186; 19, c. 100; 24, c. 308; 38, c. 209]

3. Функції декількох змінних.

3.1 Функції декількох змінних, основні поняття, границя, неперервність функції декількох змінних. [4, c. 242-251; 19, c. 105; 24, c. 457-474; 38, c. 361]

3.2 Частинні похідні. [4, c. 251; 19, c. 107; 24, c. 477, 128; 38, c. 369]

3.3 Диференційованість ФДЗ. [4, c. 254; 19, c. 107; 24, c. 479; 38, c. 377]

3.4 Необхідна умова диференційованості ФДЗ. [19, c. 117; 24, c. 479, 128; 38, c. 410]

3.5 Достатня умова диференційованості ФДЗ. [19, c. 117; 24, c. 483; 38, c. 412]

3.6 Частинні похідні складної функції. Повна похідна. Повний диференціал ФДЗ, його властивості. Похідні та диференціали вищих порядків ФДЗ. [4, c. 254, 262, 268; 19, c. 101; 24, c. 484, 492]

3.7 Функції двох змінних. Дотична площина та нормаль. Похідна неявно заданої функції. [4, c. 265; 24, c. 545; 38, c. 404]

3.8 Локальний екстремум функції двох змінних. Найменше та найбільше значення функції двох змінних у замкненій області. [4, c. 280, 288; 19, c. 116; 24, c. 509; 38, c. 414]

Модуль №3 “Інтегральне числення”

Невизначений інтеграл.

1.1 Первісна та її властивість. Невизначений інтеграл.[25, с. 42-45; 4, с. 315-317, 319-320; 37 с. 11-14]

1.2 Таблиця найпростіших інтегралів. Табличне інтегрування. [4 с. 317-319; 37 с. 17-23]

1.3 Заміна змінної інтегрування у невизначеному інтегралі. [25 с. 361-367; 4, с. 321, 322; 37, с. 23-30]

1.4 Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі. [25, с. 361-367; 4, с. 325-328; 37, с. 31-36]

1.5 Раціональний дріб. Інтегрування раціональних дробів. [25, с. 382-393; 4, с. 328-337; 37, с. 36-49]

1.6 Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний трьохчлен. [4, с. 323-325]

1.7 Інтегрування деяких виразів, що містять радикали. [25, с. 393-398, 403; 4, с. 337-341; 37, с. 50-74]

1.8 Інтегрування тригонометричних виразів. [25, с.398-402; 4, с. 341-345; 37, с. 74-84]

Визначений інтеграл.

2.1 Задачі, що приводять до визначеного інтеграла. Визначений інтеграл, означення. Властивості визначеного інтеграла. Теорема про середнє значення визначеного інтеграла. Інтеграл зі змінною верхньою границею. Формула Ньютона - Лейбніца. [4, с. 370-382; 38, с. 286]

2.2 Заміна змінної інтегрування у визначеному інтегралі. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. [4, с. 386; 38, с. 312]

2.3 Невластиві інтеграли I та II роду, їх властивості. Інтеграли, що залежать від параметра. Гамма-функція . Бета - функція. [4, с. 390; 38, с. 326]

2.4 Полярна система координат. Деякі важливі криві, що задані у полярній системі координат. [4, с. 26; 38, с. 341]

2.5 Обчислення геометричних та фізичних величин за допомогою визначеного інтеграла. [4, с. 415; 38, с. 340]

Інтеграл по області.

3.1 Інтеграл по області. Означення, властивості, частинні випадки. [36, c. 14]

3.2 Криволінійні інтеграли I роду, їх обчислення. [4, c. 209, 211; 36, c. 22, 28; 38, c. 499]

3.3 Подвійний інтеграл, його обчислення. [4, c. 152-168; 36, c. 25, 32; 38, c. 432]

3.4 Полярна система координат, елемент площі у полярній системі координат. [4, c. 168; 36, c. 43; 38, c. 446]

3.5 Заміна змінної інтегрування у подвійному інтегралі. [4, c. 174; 36, c. 47]

3.6 Геометричний та фізичний зміст подвійного інтеграла. [4, c. 179, 182, 188; 36, c. 25; 38, c. 451]

3.7 Потрійний інтеграл, його обчислення. [4, c. 190; 36, c. 25, 53; 38, c. 453]

3.8 Циліндрична та сферична системи координат, елемент об`єму у цих системах координат. [4, c. 196; 36, c. 57; 38, c. 459]

3.9 Заміна змінної інтегрування у потрійному інтегралі. [4, c. 196; 36, c. 60]

3.10 Геометричний зміст потрійного інтеграла. [4, c. 199; 36, c. 53; 38, c. 459]

3.11 Поверхневі інтеграли II роду, їх обчислення. [4, c. 224, 226; 36, c. 50; 38, c. 509]

3.12 Інтеграл по орієнтованій області, його властивості, частинні випадки. Криволінійні інтеграли II роду, їх обчислення. [36, c. 65, 70; 38, c. 473, 502]

3.13 Поверхневі інтеграли II роду, їх обчислення. [36, c. 74; 38, c. 502]

Модуль №4 “Диференціальні рівняння та ряди”

Числові ряди.

1.1 Поняття числового ряду. Збіжність числового ряду. Властивості збіжних рядів. Числові ряди з додатними членами. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонічний ряд. [4, ч. ІІ, с. 245; 19, c. 222; 24, c. 410-415; 38, c. 636]

1.2 Ознаки збіжності числових рядів. [4, ч. ІІ, с. 250; 19, c. 228; 24, c. 413-415; 38, c. 636]

1.3 Ознаки порівняння числових рядів. Ознака Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші. [4, ч. ІІ, с. 260, 263; 24, c. 416; 38, c. 642]

1.4 Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца. [19, c. 223; 24, c. 438-442; 38, c. 649]

1.5 Ряди з комплексними членами. Методи дослідження рядів з комплексними членами на збіжність. [4, ч. ІІ, с. 299; 38, c. 689]

Степеневі ряди.

2.1 Функціональні ряди, основні поняття. [4, ч. ІІ, с. 266; 19, c. 236; 38, c. 653]

2.2 Степеневий ряд як частинний випадок функціонального ряду. Властивості степеневих рядів. Теорема Абеля. Інтервал збіжності та радіус збіжності степеневого ряду. [4, ч. ІІ, с. 275; 19, c. 238; 38, c. 658]

2.3 Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Умови, за яких функція може бути розвинена у ряд Тейлора. Ряд Маклорена. [4, ч. ІІ, с. 282; 19, c. 244; 38, c. 680]

2.4 Розкладання елементарних функцій у ряди Тейлора та Маклорена. Формули Ейлера. Біноміальний ряд. Застосування рядів до наближених обчислень. [4, ч. ІІ, с. 283, 288-295; 19, c. 244; 38, c. 673]

3. Ряд Фур`є.

3.1 Скалярний добуток функцій та його властивості. Ортогональна система функцій. Нормована система функцій. Ортонормована система функцій. Ряд Фур`є по ортонормованій системі функцій. [4, ч. ІІ, с. 318; 38, c. 717]

3.2 Тригонометричний ряд Фур`є. Умови розвинення функцій у тригонометричний ряд Фур`є. Теорема Діріхлє. Ряд Фур`є для парних і непарних функцій. [4, ч. ІІ, с. 329, 334, 339; 19, c. 249; 38, c. 696]

3.3 Ряд Фур`є для періодичних і неперіодичних функцій. [4, ч. ІІ, с. 331]

3.4 Комплексно значні функції. Ортогональна система комплексно значних функцій. Ряд Фур`є у комплексній формі. Частотний та амплітудний спектри. [4, ч. ІІ, с. 355; 38, c. 717]

3.5 Інтеграл Фур`є у дійсній та комплексній формі. Перетворення Фур`є. Спектральна щільність. [4, ч. ІІ, с. 347, 349, 352; 38, c. 723]

3.6 Дискретне перетворення Фур`є. Перетворення Уолша, Хаара. [4, ч. ІІ, с. 354]

Диференціальні рівняння.

4.1 Диференціальні рівняння, основні поняття. Теорема існування та єдиності розв`язку диференціального рівняння. Задача Коші. [4, ч. ІІ, с. 16; 19, c. 186; 27, c. 9; 38, c. 547; 43, ч. ІІІ, с. 244]

4.2 Диференціальні рівняння I порядку. Геометричний зміст ДР I порядку та його розв`язку. [4, ч. ІІ, с. 17; 19, c. 191; 27, c. 15; 38, c. 547]

4.3 ДР I порядку з відокремлюваними та відокремленими змінними. [4, ч. ІІ, с. 22; 19, c. 191; 27, c. 19, 24; 38, c. 551; 43, ч. ІІІ, с. 245]

4.4 ДР I порядку однорідні відносно незалежної змінної та невідомої функції. [4, ч. ІІ, с. 25; 38, c. 558]

4.5 Лінійні ДР I порядку. [4, ч. ІІ, с. 30; 19, c. 197; 27, c. 27; 38, c. 558; 43, ч. ІІІ, с. 253]

4.6 ДР I порядку типу Бернуллі. [4, ч. ІІ, с. 33; 27, c. 30; 43, ч. ІІІ, с. 259]

4.7 Особливі точки та особливі розв`язки ДР I порядку. [4, ч. ІІ, с. 45; 27, c. 75; 38, c. 569]

4.8 ДР 2-го порядку, які приводяться до ДР I порядку. [4, ч. ІІ, с. 55, 59; 19, c. 212; 27, c. 85; 38, c. 574; 43]

4.9 Лінійний диференціальний оператор та його властивості. [27, c. 93]

4.10 Лінійні однорідні ДР n – го порядку та властивості їх частинних розв`язків. [4, ч. ІІ, с. 68; 38, c. 600]

4.11 Лінійні залежність функцій. Визначник Вронського. [27, c. 97]

4.12 Фундаментальна система розв`язків ЛОДР n – го порядку. [27, c. 100]

4.13 Теорема про структуру загального розв`язку ЛОДР n – го порядку. [27, c. 99]

4.14 ЛОДР ІІ – го порядку зі сталими коефіцієнтами. [27, c. 101]

4.15 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n – го порядку. [4, ч. ІІ, с. 81; 27, c. 113]

4.16 Теорема про структуру загального розв`язку ЛНДР n – го порядку. [27, c. 115]

4.17 Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами n – го порядку. [27, c. 107, 124; 38, c. 604]

4.18 ЛОДР n – го порядку зі сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння ЛОДР та його застосування до знаходження розв`язків ЛОДР. [19, c. 214; 27, c. 107; 38, c. 604; 43, ч. ІІІ, с. 305]

4.19 ЛНДР n – го порядку зі сталими коефіцієнтами. Методи знаходження його розв`язків: метод неозначених коефіцієнтів, метод варіації довільних сталих. Принцип суперпозиції при розв`язуванні ЛНДР. [19, c. 219; 27, c. 124; 38, c. 604; 43, ч. ІІІ, с. 329]

4.20 Системи звичайних диференціальних рівнянь. Нормальна система ДР I порядку. Теорема існування та єдиності розв`язку нормальної системи ДР I порядку. [4, ч. ІІ, с. 103; 27, c. 169; 38, c. 613]

4.21 Система ЛОДР I порядку та властивість її розв`язків. [4, ч. ІІ, с. 108; 19, c. 217; 27, c. 181; 38, c. 613]

4.22 Теорема про структуру загального розв`язку системи ЛОДР. [27, c. 189; 38, c. 613]

4.23 Система ЛНДР I порядку. [38, c. 613]

4.24 Теорема про структуру загального розв`язку системи ЛНДР I порядку. [38, c. 613]

Рівняння математичної фізики.

5.1 Диференціальні рівняння з частинними похідними I порядку та методи їх розв`язання . [27, c. 241]

15.2 Диференціальні рівняння з частинними похідними II порядку та методи їх розв`язання. [4, ч. ІІ, с. 375; 45, c. 374]

15.3 Деякі важливі ДР: хвильове рівняння, рівняння теплопровідності, рівняння Лапласа. [4, ч. ІІ, с. 375; 44, c. 360; 55, c. 374]

Модуль №5 “Теорія поля та ТФКЗ”

1. Теорія поля.

1.1 Скалярне поле, лініїрівня. [36, с. 77, 81]

1.2 Оператор Гамільтона. [36, с. 113]

1.3 Похідна за напрямком, градієнт. [34, с. 371; 36, с. 77, 81]

1.4 Криволінійний інтеграл другого роду, властивості, обчислення, умова незалежності від шляху інтегрування. [34, с. 515; 36, с. 67]

1.5 Векторне поле. [36, с. 77, 85]

1.6 Циркуляція векторного поля вздовж замкненої кривої. [ 36, с. 102]

1.7 Поверхневий інтеграл 2-го роду (потік векторного поля через поверхню) та його обчислення. [34, с. 538; 36, с. 69, 92]

1.8 Дивергенція і ротор векторного поля, їх властивості. [34, с. 548; 36, с. 96, 101]

1.9 Формули Гауса - Остроградського, Гріна, Стокса. [34, с. 546; 36, с. 101, 111]

1.10 Оператор Лапласа. [34, с. 556; 36, с. 115]

1.11 Соленоїдальне і потенціальне поля. Теорема Гельмгольца. [34, с. 554; 36, с. 117]