Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Производная сложной функции ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Производная сложной функции Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x)) Теорема 4. Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'u, u'x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'x = y'u u'x. Доказательство Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем
Теорема доказана. Производная обратной функции Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y). Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и Доказательство Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y). Тогда получаем
|
hjn 
Производная показательной и логарифмической функции
Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой
 где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е, приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с помощью различных компьютерных алгоритмов. Если a = е, то получаем красивый результат в виде
 Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражением
Для натурального логарифма y = ln x производная равна
| Производные обратных тригонометрических функций
Для сложных функций:
Пусть  имеет обратную ф-ию на  
Рассмотрим отнош. 
Рассмотрим обратные тригонометрические ф-ии.
 
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Достаточные условия существования экстремума  Теорема 21. Пусть функция y = f(x) непрерывна на всем интервале (a, b), дифференцируема на (a, b), кроме, быть может, числа x0 Доказательство. Пусть при переходе через x0 производная функции f меняет знак с плюса на минус. Рассмотрим x = x0 + Δx
где
где Доказано, что значение f(x0) – максимум функции f. Аналогично доказывается, что если при переходе через x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то f(x0) – минимум функции f.
|
Дифференциа́л -линейнаячасть приращения функции.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть  или  . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций  , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует. Например, найти Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее. Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞. Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a,b), причем точка (x0, f(x0)) является критической точкой графика функции f. Тогда, если при переходе через x0 производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то f'(x0) – максимум (минимум) функции f.
, если Δx< 0, то
равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные f.
следущим определяющим соотношением
. Этот предел существует 
. Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 326.
stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...