Студопедия

КАТЕГОРИИ:

Авто Автоматизация Архитектура Астрономия Аудит Биология Бухгалтерия Военное дело Генетика География Геология Государство Дом Журналистика и СМИ Изобретательство Иностранные языки Информатика Искусство История Компьютеры Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлы и Сварка Механика Музыка Население Образование Охрана безопасности жизни Охрана Труда Педагогика Политика Право Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Регилия Связь Социология Спорт Стандартизация Строительство Технологии Торговля Туризм Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Ценнообразование Черчение Экология Эконометрика Экономика Электроника Юриспунденкция

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Из определения обратной матрицы A · A^{− 1} = E следует, что для вычисления матрицы, обратной квадратной матрице n –го порядка A , нужно решить матричное уравнение

A · X = E,

где X — неизвестная обратная матрица. Это матричное уравнение эквивалентно n системам n линейных уравнений n–го порядка с одной и той же основной матрицей системыA , но разными столбцами свободных членов, а именно, столбцами единичной матрицы. Поэтому решать все эти системы методом Гаусса удобно одновременно.

Таким образом, для вычисления обратной матрицы методом Гаусса

1. Дописываем единичную матрицу E к матрице A (для удобства отделяя ее чертой).

2. С помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу A к единичной. Тогда на месте единичной матрицы окажется искомая обратная матрица:

( A | E)~ … ~( E | A^{− 1} ) .

Если матрица A не может быть приведена к единичной, то это означает, что она вырожденная и, следовательно, не имеет обратной (следовательно, можно не проверять заранее, что det A ≠ 0 ).

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы Dсистемы матрицу A системы приводят к ступенчатому виду:

Если среди чисел

есть отличные от нуля, система несовместна. Если

то: 1) при r = n исходная система равносильна системе:

имеющей единственное решение (сначала находим из последнего уравнения

, из предпоследнего

Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 (где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы коэффициенты А, В не были нулями оба сразу) представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой. Если А=0, то есть уравнение не содержит х, то оно представляет прямую, параллельную оси ОХ. Если В=0, то есть уравнение не содержит у, то оно представляет прямую, параллельную оси ОY. Когла В не равно нулю, то общее уравнение прямой можно разрешить относительно ординаты у, тогда оно преобразуется к виду y=ax+b (где a=-A/B; b=-C/B). Аналогично, при А отличным от нуля общее уравнение прямой можно разрешить относительно х. Если С=0, то есть общее уравнение прямой не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Если в общем уравнении прямой

, то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом

где

угловой коэффициент, a – угол, образованный прямой с положительным направлением оси

– свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью

. Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку

с угловым коэффициентом

, определяется по формуле

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки В соответствии с условием, нам известны координаты двух точек

. Данная задача сформулирована корректно, так как известно, что через две точки проходит одна и только одна прямая линия.

Рисунок 1.4. Прямая, проходящая через две заданных точки Если учесть, что уравнение (1-7) прямой проходящей через заданную точку

в заданном направлении, определяет все прямые, проходящие через точку

. Из них, нужно выбрать одну, которая будет проходить и через точку

. Для этого нужно определить конкретное значение углового коэффициента K искомой прямой. Его значение можно определить, если в (1-7) подставить координаты точки

, которая принадлежит искомой прямой

, И искомое значение k равно

. Подставим найденное значение углового коэффициента K в уравнение (1-7). После преобразований получим:

(1-8) Это и есть уравнение искомой прямой, проходящей через две заданные точки. Кривые второго порядка. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах² + 2Вху +Су² + 2Дх + 2Еу +F = 0, где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А²+В²+С²≠0. Окружность Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b). Окружность задается следующим уравнением:

Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности. Признак уравнения окружности 1. Отсутствует слагаемое с х,у 2. Равны Коэффициенты при х² и у² Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина). Каноническое уравнение эллипса:

Х и у принадлежат эллипсу. а – большая полуось эллипса b – малая полуось эллипса У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса. Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)

Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная , отличная от ноля. Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола имеет 2 оси симметрии: а – действительная полуось симметрии b – мнимая полуось симметрии Ассимптоты гиперболы:

Парабола Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы: У²=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы) Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)²=2р(х-α) Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х²=2qу Бесконечно малые и бесконечно большие функции Важную роль в математическом анализе играет понятие бесконечно малых (б.м.) функций. О: Функция у = а(х) называется б.м. при х

а, если

Функция

называется б.б. при

если для любого числа М > 0 существует такое число

зависящее только от М, что из неравенства

При А

0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:

где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b . Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 1). Пусть прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

. Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами

этих прямых:

(6.6) Условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно коллинеарности их нормальных векторов

. Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ получаем из формулы (6.6) при cos

= 0:

. 2). Если прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

, то рассматривая их направляющие векторы

, аналогично случаю 1).имеем:

(6.7) Условие параллельности прямых L₁ и L₂ :

. Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ :

3). Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом

Здесь

- углы наклона прямых L₁ и L₂ к оси Ox, а

- один из углов между этими прямыми. Из рисунка видно, что

Отсюда

Т.е. угол между прямыми L₁ и L₂ определяется по формуле:

(6.8)

Если в этой формуле поменять местами k₁ и k₂ , то формула определит нам угол между прямыми, смежный к прежнему углу. Т.к. эти два угла в сумме равны и их тангенсы отличаются только знаком.

Прямые параллельны, если tg = 0, т.е. k₁= k₂ .

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ получим из формулы (6.8), т.к. tg не существует при k₁ k₂ + 1 = 0.

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ запишем в виде:

12 3 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 348.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...