Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Свободные переменные.

· Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,

· свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы F,

· переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),

· все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Замкнутая формула.

· Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Связанная переменная.

· Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.

Связанное переименование, свободное переименование

ВОПРОС 17

О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество M, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов переменных: 1) значений входящих в формулу переменных высказываний, 2) значений свободных предметных переменных из множества М, 3) значений предикатных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение.

В качестве примера рассмотрим формулу , (1) в которой двухместный предикат Р(x, y) определен на множестве MхM, где M={0,1,2,…,n,…}, т.е. MхM=NхN.

В формулу (1) входит переменный предикат P(x,y), предметные переменные x,y,z, две из которых y и z – связанные кванторами, а x – свободная.

Возьмем за конкретное значение предиката P(x,y) фиксированный предикат P⁰(x,y): “x<y”, а свободной переменной х придадим значение . Тогда при значениях y, меньших x⁰=5, предикат P⁰(x⁰,y) принимает значение “ложь”, а импликация при всех принимает значение “истина”, т.е. высказывание имеет значение “истина”.

Нахождение тавтологий является одной из важнейших задач логики предикатов, как и алгебры высказываний. Но если в алгебре высказываний имеется общий метод определения, является или нет данная формула тавтологией (это — метод составления таблицы истинности для формулы), то в логике предикатов такого общего метода не существует. Каждая формула подлежит изучению индивидуальным методом на тождественную истинность. Дело здесь в том, что каждое высказывание имеет только одно из двух логических значений: "истина" или "ложь"", тогда как значение предиката зависит от выбора значений его предметных переменных, который, вообще говоря, можно сделать бесконечным числом способов.

Рассмотрим наиболее важные тавтологии логики предикатов. О значении тавтологий алгебры высказываний подробно говорилось ранее. Все сказанное там сохраняет свое значение и для тавтологий логики предикатов. Но, как уже отмечалось, язык логики предикатов более тонок, а поэтому тавтологии логики предикатов более тонко отражают процессы логических умозаключений.

Рассмотрение тавтологий логики предикатов начнем с установления того, что простейшие ее тавтологии получаются из тавтологий алгебры высказываний, а тавтологии алгебры высказываний образуют часть тавтологий логики предикатов.

Теорема 21.8. Всякая формула, получающаяся из тавтологии алгебры высказываний заменой входящих в нее пропозициональных переменных произвольными предикатными переменными, является тавтологией логики предикатов.

Доказательство. Пусть — тавтология алгебры высказываний и

являются предикатные переменные. Подставим их в данную формулу вместо пропозициональных переменных соответственно. Получим формулу логики предикатов: . Если теперь вместо предикатных переменных подставить произвольные конкретные предикаты , то формула превратится в конкретный предикат . Этот предикат тождественно истинный, потому что подстановка вместо предметных переменных любых конкретных предметов из соответствующих множеств превращает данный предикат в высказывание , которое может быть получено также в результате подстановки в исходную тавтологию алгебры высказываний вместо пропозициональных переменных конкретных высказываний соответственно и потому истинно. Следовательно, формула логики предикатов также является тавтологией. Теорема доказана.В последующих теоремах приводятся наиболее важные тавтологии логики предикатов, не сводящиеся к тавтологиям алгебры высказываний. Все такие тавтологии содержат кванторы.

ВОПРОС 18

Понятие – это форма мышления, отражающая предметы или явления на основе существенных и отличительных признаков.

Исходной формой абстрактного человеческого мышления является понятие. Любая мысль выражается посредством понятия.

Понятие образуется на основе ощущения, восприятия и представления с помощью общенаучных методов: анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование. Эти приемы широко используются в познании. Важную роль они играют в формировании понятий, основанном на выявлении существенных признаков.

Чтобы составить понятие о предмете, нужно сравнить данный предмет с другими предметами, найти признаки сходства и различия. Логический прием, устанавливающий сходство или различие предметов, называется сравнением.

Выделение признаков связано с мысленным расчленением предмета на составляющие его части, стороны, элементы. Мысленное расчленение предмета на части называется анализом.

Выделение с помощью анализа признаков позволяет отличить существенные признаки от несущественных и отвлечься, абстрагироваться от последних. Мысленное выделение признаков одного предмета и отвлечение от других признаков называется абстрагированием.

Элементы, стороны, признаки предмета, выделенные с помощью анализа, должны быть соединены в единое целое. Это достигается с помощью приема, противоположного анализу, – синтеза, представляющего собой мысленное соединение частей предмета, расчлененного анализом. Признаки изучаемых предметов распространяются на все сходные предметы. Эта операция осуществляется путем обобщения – приема, с помощью которого отдельные предметы на основе присущих им одинаковых свойств объединяются в группы однородных предметов. Благодаря обобщению существенные признаки, выявленные у отдельных предметов, рассматриваются как признаки всех предметов, к которым приложимо данное понятие.

Признаки – это то, в чем предметы сходны друг с другом или отличны друг от друга.

Следовательно, свойства предметов и их отношения являются признаками. Предметы могут быть тождественны по своим признакам (например, сахар и мед сладкие), но могут и отличаться (мед сладкий, полынь горькая).

Понятие неразрывно связано с основной языковой единицей – словом. Понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни оперирование ими.

Любое понятие имеет структуру, которая включает объем и содержание.

Объем понятия – совокупность предметов, которая мыслится в данном понятии. Объем понятия «преступление» охватывает все преступления, поскольку они имеют общие существенные признаки.

Содержание понятия – это совокупность основных существенных признаков предмета или группы однородных предметов, отраженных в данном понятии. Например, содержанием понятия «преступление» является совокупность существенных признаков преступления: общественно опасный характер деяния, виновность, противоправность, наказуемость.

ВИДЫ

1.1. Единичные — понятие, в котором мыслится один предмет (Москва).

1.2. Общие — понятие, в котором мыслится множество элементов (Столица):регистрирующие (множество мыслимых в нем элементов в принципе поддается учету, регистрируется (планета Солнечной системы) имеют конечный объем; нерегистрирующие (общее понятие, относящееся к неопределенному числу элементов — человек, следователь).

2.1. Собирательные — понятия, в которых мыслятся признаки некоторой совокупности элементов, составляющих единое целое (коллектив, полк, созвездие). Содержание собирательного понятие нельзя отнести к каждому отдельному элементу, входящему в его объем, оно относится ко всей совокупности элементов (коллектив — группа лиц, объединенных общим делом; неприложимо к каждому отдельному члену коллектива).

2.2. Несобирательные — понятия, в которых мыслятся признаки, относящиеся к каждому его элементу (звезда, командир полка).

Понятия могут употребляться в разделительном (если высказывание относится к каждому элементу класса — студенты 1-го курса изучают логику) исобирательном (высказывание относится ко всем элементам взятым в единстве, и неприложимо к каждому элементу в отдельности — студенты 1-го курса провели конференцию) смыслах.

3.1. Конкретные — мыслится предмет или совокупность предметов как нечто самостоятельно существующее (книга, свидетель, государство);

3.2. Абстрактные - мыслится признак предмета или отношение между предметами (смелость, ответственность, вечность). Образуются в результате отвлечения, абстрагирования определенного признака предмета. Посредник - общее, конкретное понятие; посредничество - общее, абстрактное. ООН - единичное, конкретное понятие; мужество капитана Гастелло — единичное, абстрактное.

4.1.Положительные — понятия, в содержании которых выражается наличиекаких-либо свойств у предмета.

ВОПРОС 19

Логические операции с понятиями — такие мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объёма понятий, а также образование новых понятий.

К операциям, которые связаны преимущественно с изменением содержания понятий, относятся:

· отрицание;

· ограничение ;

· обобщение ;

· деление.

К операциям, которые связаны преимущественно с объёмами понятий, относятся:

· сложение;

· умножение;

· вычитание.

Данные операции могут быть записаны математически с помощью теории множеств.

Переход же к математической логике связан с понятием суждений и установлением операций над ними с целью получения сложных суждений.

ВОПРОС 20

Определение, дефиниция (лат. definitio — предел, граница) — логическая процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка^[1]. Термин, над которым проводится операция дефиниции, называетсядефидентом.

Правила дефиниции

· Соразмерность дефидента и дефиниции. Пример ошибки:

· Широкое определение «Лошадь — млекопитающее и позвоночное животное».

· Узкое определение «Совесть — это осознание человеком ответственности перед самим собой за совершённые поступки».

· И широкое и узкое одновременно «Бочка — это сосуд для хранения жидкостей».

· Определение не должно содержать круга — когда дефиниция определяется через дефидент, а дефидент был определён через дефиницию. Пример ошибки:

· «Халатность заключается в том, что человек халатно относится к своим обязанностям» (см.: Тавтология).

· Чёткость и ясность — определения не должны быть двусмысленными, не допускаются метафоры и сравнения. Пример ошибки:

· «Лев — царь зверей».

· Родовой признак должен указывать на ближайшее широкое понятие, не перескакивая через него.

· Видовым различием должен быть признак или группа признаков, присущих лишь данному понятию и отсутствующих у других понятий этого рода.

· По возможности определение не должно быть негативным и вообще предвзятым.

Следует отличать определение от других действий, не раскрывающих полностью суть понятия:

· описание — перечисление отличительных внешних признаков, способствующих выделению среди остальных

· характеристика — перечисление самых важных признаков

· сравнение — фиксирование факта совпадения или несовпадения признаков между объектами

· демонстрация — ознакомление с понятием выяснением его рода или класса

ВОПРОС 21

Логика воздействует прежде всего на разум человека, но без влияния на его чувства не всегда удается добиться убедительности доказательства. Иначе говоря, можно доказать, но не убедить. С другой стороны, воздействуя на чувства и пренебрегая логическими средствами обоснования тезиса, можно убедить, но не доказать. Поэтому, чтобы доказательство было убедительным, а убеждение доказательным, нужно использовать как логические, так и внелогические приемы обоснования тезиса.

Обоснование тезиса в котором наряду с логическими применяются приемы внелогического воздействия, называется аргументацией.

К внелогическим приемам, используемым в аргументации, относятся прежде всего разнообразные приемы, составляющие предмет риторики — науки обораторском искусстве. Они усиливают выразительность речи, придают ей яркость, эмоциональность, воздействуя тем самым на чувства человека. С этой целью используются сравнения, эпитеты, метафоры, повторы, усиливающие образность и эмоциональность процесса доказательства. Применяются также многие другие риторические приемы. Определенное значение имеют интонация и темп речи оратора, умелое использование им пауз, жеста, мимики и т.п.

Важно, однако, подчеркнуть, что риторические приемы должны применяться в союзе с логикой. Увлечение ораторскими приемами, недооценка логических приемов доказательства превращает аргументацию во внешне красивое, эффектное, но малосодержательное рассуждение. Оно может убедить, но не способно доказать. К внелогическим приемам аргументации можно отнести некоторые доводы, отвергаемые логикой. Это довод к личности, к публике, к авторитету:

• Довод к личности не является логическим основанием тезиса, но как дополнительное средство, характеризующее, например, правонарушителя, он приемлем в аргументации.
• Используя довод к публике, аргументатор стремится вызвать определенные чувства у присутствующих, повлиять на их отношение к обсуждаемому вопросу. Это усиливает аргументацию, но довод к публике не должен подменять доказательства тезиса по существу.
• То же относится и к доводу к авторитету, когда логическое обоснование подкрепляется высказыванием известного ученого, философа, политического деятеля. В определенных условиях может быть использован, по лишь как дополнительный прием, довод к состраданию.

Существуют приемы воздействия, несовместимые ни с логикой, ни с аргументацией. Это демагогия, внушение, заражение и софистика.

Демагогия ставит своей целью ввести людей в заблуждение с помощью извращения фактов, лживых обещаний, лести, подлаживания под их вкусы, настроения. При этом нередко используются аргументы к невежеству и к выгоде. Демагогия родственна популизму, который используется некоторыми политическими деятелями, добивающимися популярности обещаниями, заведомо зная, что они не будут выполнены. Демагог стремится воздействовать на чувства людей, создать определенное настроение. Но подтасовывая факты, создавая видимость доказательства выдвигаемых положений, он использует софистику, преднамеренно нарушая правила логики.

Внушение нередко сочетается с заражением, когда человек, обращаясь к людям, стремится воздействовать на них своим эмоциональным состоянием, своими чувствами, своим отношением к выдвинутым идеям. Заражая своими эмоциями, накаляя страсти, он стремится вызвать у людей общее для них психическое состояние.

Правила доказательства и опровержения

В процессе обоснования истинности или ложности тезиса (суждения, выдвигаемого для доказательства) возможны логические ошибки, возникающие при нарушении определенных правил. Эти правила принято делить в соответствии со строением доказательства на правила тезиса, правила аргументов и правила демонстрации.

Правила тезиса

Первое правило. Тезис должен быть сформулирован ясно и четко. Это правило, основанное на принципе тождества, требует однозначности понятий, входящих в тезис, ясности суждения, в форме которого сформулирован тезис с указанием его количественной характеристики (нельзя доказывать то, что относится к некоторым, выдавая за то, что относится ко всем).

Примером нарушения данного правила может служить предвыборная телереклама «Мы сделаем россиян богатыми». Во-первых, неясно, кто это «мы», во-вторых, не указано, имеются в виду все россияне или только некоторые, и, в-третьих, понятие «богатство» неопределенно и относительно. Под богатством можно понимать и материальное, и духовное богатство, богатство знаниями, идеями и т.п. Иначе говоря, это положение можно трактовать и понимать по-разному.

Второе правило. Тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства. Это правило, как и предыдущее, основано на принципе тождества. Оно не исключает уточнение тезиса в процессе доказательства, если он сформулирован недостаточно определенно. Но при этом содержание тезиса не должно изменяться, не должно быть подмены тезиса, когда доказательство нового тезиса выдается за доказательство тезиса, выдвинутого первоначально.

Подмена тезиса — серьезная логическая ошибка. Она может быть частичной или полной:

• Частичная подмена тезиса означает ослабление или усиление тезиса, когда изменяют его количественную характеристику или заменяют понятие с одним объемом понятием с другим объемом. Например, выдвинув тезис «Данный проступок является преступлением», доказывают ослабленный, «смягченный» тезис «Данный проступок — правонарушение». Но правонарушение может быть не преступным деянием, а административным или дисциплинарным проступком. В опровержении тезиса оппонента обычно усиливают его тезис. Например, чтобы опровергнуть тезис «Многие адвокаты — хорошие ораторы» подменяют его усиленным вариантом«Все адвокаты — хорошие ораторы», доказать ложность которого нетрудно.
• Полная подмена тезиса означает выдвижение нового тезиса, нередко сходного с тезисом, выдвинутым первоначально, но не тождественным ему. Одной из разновидностей этой ошибки является логическая диверсия. Она выражается в том, что выдвинувший тезис, не найдя аргументов для его доказательства, старается переключить внимание собеседника на обсуждение другого вопроса.

Правила аргументов

Первое правило. Аргументы должны быть истинными и доказанными положениями. Ложными аргументами нельзя ни доказать, ни опровергнуть тезис. Это требование формулируется следующим образом: ложное основание — не основание. Использование ложного основания (аргумента) ведет к логической ошибке, называемой основное заблуждение. Аргументы должны быть не только истинными, но и доказанными положениями. Недоказанное основание — не основание. Невыполнение этого требования влечет ошибку — предвосхищение основания.

Приведем пример. Признание человеком своей вины некогда считалось самым надежным аргументом. В одном из российских законодательств XVIII века личное признание обвиняемого рассматривалось как «лучшее доказательство всего света». А чтобы его добиться, применялись всевозможные методы воздействия, включая физические, Но личное признание может быть как истинным, так и ложным и, следовательно, не является достаточным основанием обвинения. В нашем законодательстве указано, что личное признание своей вины может быть положено в основу обвинения лишь при подтверждении признания совокупностью доказательств по делу.

Второе правило. Аргументы должны быть суждениями, истинность которых обосновывается независимо от тезиса. Чтобы избежать ошибки предвосхищения основания, аргумент иногда обосновывают ссылкой на тезис. Это ведет к логической ошибке — круг в доказательстве: аргумент обосновывается тезисом, тезис — аргументом. Российский философ XVIII века Я.П. Козельский писал: «В доказательствах надобно беречься, чтобы не учинить погрешности, называемой круг, которая состоит в том, когда из двух предложений каждое доказывается одно другим взаимообразно: например, ежели доказывать, что человек есть разумное животное, тем, что он рассуждать может, и что он рассуждать может, тем, что он есть разумное животное, то это и будет круг в доказательстве».

Третье правило. Аргументы должны быть достаточными для тезиса.Это правило, основанное на принципе достаточного основания, нарушается, если аргументов или слишком мало, или слишком много. В первом случае аргументы окажутся недостаточными для обоснования истинности или ложности тезиса. Поэтому «кто мало доказывает, тот ничего не доказывает». Во втором случае избыток аргументов лишает процесс доказательства ясности, делает его уязвимым для критики. В нем легче найти «слабые звенья»: недоказанные и противоречащие аргументы. Поэтому «кто много доказывает, тот ничего не доказывает».