Силлогизм в современной логике

Силлогизм преобладал в логике до XIX века и имел ограниченное приложение в частности из-за привязки к категорическому силлогизму. Заменой силлогизму служит более простая и мощная логика первого порядка, а также теория кванторов.

Правила простого категорического силлогизма

· Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок.

· Термин, не распределённый в посылке, не должен быть распределён в заключении.

· Число отрицательных посылок должно быть равно числу отрицательных заключений.

· В каждом силлогизме должно быть только три термина.

ВОПРОС 10

Фигуры и модусы категорического силлогизма

В посылках простого категорического силлогизма средний термин может занимать место субъекта или предиката. В зависимости от этого различают четыре разновидности силлогизма, которые называют фигурами.

В первой фигуре средний термин занимает место субъекта в большей и место предиката в меньшей посылках.

Во второй фигуре – место предиката в обеих посылках.

В третьей фигуре – место субъекта в обеих посылках.

В четвертой фигуре – место предиката в большей и место субъекта в меньшей посылке.

Данные фигуры исчерпывают все возможные комбинации терминов.

Фигуры силлогизма – это его разновидности, различающиеся положением среднего термина в посылках.

Посылками силлогизма могут быть суждения, различные по качеству и количеству: общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), частноутвердительные (I) и частноотрицательные (О).

Разновидности силлогизма, различающиеся количественными и качественными характеристиками посылок, называются модусами простого категорического силлогизма.

Каждая фигура имеет свои особые правила, которые выводятся из общих.

Правила 1–й фигуры:

– большая посылка – общее суждение;

– меньшая посылка – утвердительное суждение.

1–я фигура – наиболее типичная форма дедуктивного умозаключения. Из общего положения, выражающего нередко закон науки, правовую норму делается вывод об отдельном факте, единичном случае, конкретном лице. Широко применяется данная фигура в судебной практике. Юридическая оценка (квалификация) правовых явлений, применение нормы права к отдельному случаю, назначение наказания за преступление, совершенное конкретным лицом, и другие судебные решения принимают логическую форму 1–ой фигуры силлогизма.

Правила 2–й фигуры:

– большая посылка – общее суждение;

– одна из посылок – отрицательное суждение.

Данная фигура применяется, когда необходимо показать, что отдельный случай (конкретное лицо, факт, явление) не может быть подведен под общее положение. Этот случай исключается из числа предметов, о которых сказано в большей посылке. В судебной практике 2–я фигура используется для заключений об отсутствии состава преступления в данном конкретном случае, для опровержения положений, противоречащих тому, о чем говорится в посылке, выражающей общее положение.

Правила третьей фигуры:

– меньшая посылка – утвердительное суждение;

– заключение – частное суждение.

Давая только частные суждения, 3–я фигура применяется чаще всего для установления частичной совместимости признаков, относящихся к одному предмету. Например:

Осмотр места происшествия (М) имеет одной из своих задач обнаружение следов преступления (Р)

Осмотр места происшествия (М) – следственное действие (S)

Некоторые следственные действия (S) имеют одной из своих задач обнаружение следов преступления (Р)

В практике рассуждения 3–я фигура применяется сравнительно редко.

4–я фигура силлогизма также имеет свои правила и модусы. Однако выведение заключения из посылок по данной фигуре не характерно для естественного процесса рассуждения.

Ход рассуждения представляется в известной мере искусственным, на практике выводы в подобных случаях делаются обычно по фигуре 1.

ВОПРОС 11

Непрямые способы аргументации

При осуществлении более сложных типов рассуждений наряду с умозаключениями применяются и иные, непрямые способы аргументации. Эти приемы используются в том случае, когда в ходе основного рассуждения строятся другие рассуждения, носящие вспомогательный характер.

Пусть A₁, A₂,..., A_n — формулы, а H₁, H₂,..., H_n, H — множества формул.

Определение.

(1) [Брюшинкин, 1996, с.182] Непрямымии умозаключениями называются умозаключения, которые получаются путем преобразования других умозаключений.

(2) [Бочаров, Марков, 1997, с.69—70] Непрямой способ аргументации — это прием, позволяющий делать вывод об осуществлении некоторого основного рассуждения (вида H╞═ A) при осуществлении одного или некоторых вспомогательных рассуждений (вида: H₁╞═A₁, H₂╞═A₂,..., H_n╞═A_n), т.е. это переход следующего типа: если H₁╞═ A₁ и H₂╞═ A₂ и ... и H_n ╞═ A_n, то H╞═ A.

Двумя видами непрямого (косвенного) доказательства являются апагогическое (от греч.отводящий,уводящий) и разделительное доказательства [Тоноян, 1997, с.86].

Перечислим основные непрямые способы аргументации:

(1) если H,A╞═ B, то H╞═ A®B (рассуждение по правилу индукции);

(2) если H,ùA╞═ B и H,ùA╞═ ùB, то H╞═ A (рассуждение от противного);

(3) если H,A╞═ B и H,A╞═ ùB, то H╞═ ùA

(рассуждение сведением к абсурду, reductio ad absurdum);

(4) если H,A╞═ C и H,B╞═ C, то H,AÚB╞═ C

(рассуждение разбором случаев).

Возникает вопрос: какие из переходов такого рода являются надежными, правильными с логической точки зрения, а какие — нет, каков критерий логической корректности непрямых способов аргументации?

Непрямой способ аргументации является корректным способом аргументации [Бочаров, Марков, 1997, с.70], если и только если он гарантирует “сохранение” логического следования при переходе от вспомогательных рассуждений к основному, т.е. обеспечивает наличие логического следования A из H в том случае, когда A₁ следует из H₁, A₂ следует из H₂,..., A_n следует из H_n. Чтобы продемонстрировать логическую корректность непрямого способа аргументации, нужно допустить, что H₁╞═ A₁, H₂╞═ A₂,..., H_n╞═ A_n, и показать, что при этом H╞═ A.

ВОПРОС 12

Полная индукция относится к конечным и обозримым множествам.

Полная индукция - это индуктивное умозаключение, в котором общее заключение обо всех элементах множества делается на основании рассмотрения каждого из них.

Поскольку полная индукция предполагает исследование каждого элемента изучаемого множества, её заключение, как и в дедукции, даетдостоверное знание, т.е. она гарантирует истинность заключения при истинности посылок.

Схема полной индукции:

а₁ имеет признак Р.

а₂ имеет признак Р.

...

а_n имеет признак Р.

(а₁, а₂, ..., а_n)=А

Все предметы, принадлежащие

множеству А, имеют признак Р.

Пример. «Ни одно коническое сечение не может пересекаться прямой линией более чем в двух точках, так как ни окружность, ни эллипс, ни парабола, ни гипербола не могут пересекаться прямой линией более чем в двух точках».

Структура этого умозаключения выглядит следующим образом:

«Окружность (а₁) не может пересекаться прямой линией более чем в двух точках (Р)».

«Эллипс (а₂) не может пересекаться прямой линией более чем в двух точках (Р)».

«Парабола (а₃) не может пересекаться прямой линией более чем в двух точках (Р)».

«Гипербола (а₄) не может пересекаться прямой линией более чем в двух точках (Р)».

Окружность (а₁), эллипс (а₂), парабола (а₃) и гипербола (а₄) составляют (и исчерпывают) класс конических сечений (А).

Ни одно коническое сечение (А) не может пересекаться прямой линией более чем в двух точках (Р).

Поскольку заключение в полной индукции является общим знанием, в этом смысле оно является новым по сравнению с тем, что дано в посылках. Но оно, как и в дедуктивных умозаключениях, не содержит никакой принципиально новой информации, кроме той, что заключена в посылках.

Неполная индукция относится к бесконечным, открытым множествам, а также к конечным, но практически не перечислимым в силу большого числа их элементов. Именно с такими множествами обычно имеет дело наука, поэтому неполная индукция более распространена в научном познании. С помощью неполной индукции, в принципе, можно делать заключения и о конечных, обозримых множествах.

Неполная индукция - это индуктивное умозаключение, выводом которого является общее суждение о множестве предметов, получаемое на основании знания только некоторых предметов, принадлежащих данному множеству.

В индуктивных выводах такого типа происходит приращение информации. В силу этого истинность посылок не гарантирует истинность заключения, и заключение является истинным лишь с большей или меньшей степенью вероятности. Другими словами, неполная индукция даёт вероятное,правдоподобное знание. Посылки здесь лишь подтверждают заключение. По существу, они лишь подводят к некоторому предположению, «наводят» на него (отсюда и название умозаключения). Но при этом из истинных посылок может получиться ложное заключение.

Схема неполной индукции:

а₁ имеет признак Р.

а₂ имеет признак Р.

...

а_n имеет признак Р.

(а₁, а₂, ..., а_n)Ì А

Вероятно, все предметы (а), принадлежащие

множеству А, имеют признак Р.

Пример 1. Классическим примером неполной индукции (и того, что получаемый с ее помощью вывод может оказаться ложным) служит известная история с цветом лебедей. Дело в том, что до XVII века в Европе, Азии и Америке встречались только белые лебеди. На основе этих наблюдений было сформировано индуктивное обобщение: «Все лебеди белые». Однако в 1606 году в открытой в то время Австралии были обнаружены черныелебеди, т.е. контрпример, опровергающий истинность данного индуктивного вывода.

Пример 2. До некоторых пор наблюдаемые факты приводили к обобщению: «Все тела при нагревании расширяются». Оказалось, однако, что вода при нагревании от 0 до 4 ⁰С, наоборот, сжимается. Исключения составили также чугун и висмут.

В зависимости от типа методологических средств, применяемых в индуктивных рассуждениях, выделяют две их основные разновидности: ненаучную (популярную) и научную индукцию.

Популярная индукция (полное ее наименование - «индукция через простое перечисление при отсутствии противоречащих случаев») чаще всего применяется в нашей повседневной жизни.

Пример. Так, люди не раз наблюдали, что ласточки перед дождем летают низко над землей. На этой основе был сделан вывод: «Всегда перед дождем ласточки летают низко над землей». Существует немало подобных народных примет, сделанных на основе непосредственного наблюдения. Поэтому такой вид индукции и получил название «популярная» («народная»).

Видовой признак популярной индукции - отсутствие определенного метода отбора наблюдаемых случаев.

Обобщение в популярной индукции основано на том, что во всех наблюдаемых примерах элементы изучаемого множества (А) обладают интересующим нас свойством (Р), которое регулярно повторяется при наблюдении элементов этого множества. Необходимым условием является то, что при этом не встречается ни одного контрпримера.

Ненадежность популярной индукции как способа умозаключения, прежде всего, обусловливается случайным характером выбора элементов из изучаемого множества. Вследствие этого может оказаться, что исследованное подмножество случайным образом обладает интересующим нас признаком (Р), тогда как другие подмножества этого множества могут искомым признаком (Р) не обладать. Таким образом, главный недостаток популярной индукции в том, что она не гарантирует отсутствие контрпримера. Это иллюстрирует пример с лебедями и их признаком «быть белым».

Кроме того, популярная индукция не учитывает разнообразия предметов изучаемого множества.

Пример. Предположим, мы хотим выяснить, знают ли студенты МГУ, кто такой Людвиг Клаагес. Мы подходим к корпусу университета, задаем студентам соответствующий вопрос и получаем на него только положительные ответы и ни одного отрицательного. На этом основании мы можем сформулировать индуктивное обобщение: «Все студенты МГУ знают, кто такой Людвиг Клаагес». Однако потом может выясниться, что мы стояли возле корпуса философского факультета, а студенты технических специальностей МГУ понятия не имеют о том, кто это такой.

Ненадежность выводов популярной индукции связана также с тем, что в таких выводах не исследуется причина самого явления. Вот почему наряду со многими верными народными приметами есть немало ложных обобщений, лежащих в основе суеверий (о «пустых ведрах», «черной кошке» и т.п.).

Популярной индукции свойственна ошибка, называемая поспешным обобщением. Она заключается в том, что индуктивное обобщение формулируется на основании немногих, случайно встретившихся примеров.

Пример. Водитель автобуса на одной из остановок открывает дверь, но никто из пассажиров не выходит и никто не входит. На второй остановке повторяется то же самое, на третьей – то же. Четвертую остановку водитель проезжает, не останавливаясь, и на возмущенный вопрос пассажира: «Почему нет остановки?» отвечает: «Я уже несколько раз зря останавливался, думал, что все едут до конца!»

Пути повышения надежности выводов индукции:

1) по возможности, увеличивать число рассмотренных случаев;

2) по возможности, увеличивать разнообразие (разнородность) рассматриваемых случаев;

3) учитывать характер связи между рассматриваемыми предметами и их признаками.

Последнее требование связано с тем, что наблюдаемый признак может быть случайным, искусственно приобретенным и т.п.

Научная индукция есть комбинация индукции и дедукции, теории и эмпирического исследования. В научной индукции основанием для вывода является не только перечисление примеров и констатация отсутствия контрпримера, но и обоснование невозможности контрпримера в силу его противоречия рассматриваемому явлению. Таким образом, вывод делается не только на основании внешних признаков, но и на представлении о сущности явления. Это означает, что нужно иметь теорию данного явления. Благодаря этому степень вероятности получения истинного вывода в научной индукции значительно повышается.

Пример. Для того чтобы убедиться в достоверности вывода «Всегда перед дождем ласточки летают низко над землей», достаточно понять, что ласточки перед дождем летают низко над землей потому, что низко летают мошки, за которыми они охотятся. А мошки летают низко потому, что перед дождем у них от влаги набухают крылышки.

Если в популярной индукции важно обозреть как можно большее число случаев, то для научной индукции это не имеет принципиального значения.

Пример. Легенда гласит, что Ньютону для открытия фундаментального закона всемирного тяготения достаточно было наблюдать один случай – падение яблока.

ВОПРОС 13

Значимой характеристикой умозаключения как одной из форм мышления человека является вывод нового знания. При этом в умозаключении вывод (следствие) получается в ходе движения мысли от известного к неизвестному. К такому движению человеческой мысли относятся дедукция и индукция. Наряду с ними существуют и другие виды умозаключений, одним из которых является аналогия.

Аналогия (греч. analogia – «сходство», «соответствие») представляет собой сходство, подобие предметов (явлений) в каких-либо свойствах, признаках, отношениях. Например, химический состав Солнца и Земли сходен. Поэтому когда на Солнце обнаружили еще неизвестный на Земле элемент гелий, то по аналогии сделали вывод: такой элемент есть и на Земле.

Умозаключение по аналогии опирается на ряд несомненных данных, которыми в конкретных исторических условиях располагает наука. Оно представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов (или процессов) к общности других свойств и отношений. Аналогия играет существенную роль в естественных и гуманитарных науках. Ко многим научным открытиям исследователи подошли благодаря ее использованию. Например, природа звука устанавливалась по аналогии с морской волной, а природа света – по аналогии со звуком.

Аналогия имеет свою специфику. Так, она представляет собой определенное правдоподобие исследуемого предмета (или явления) и выражает знание с внутренне скрытой вероятностью. Процесс формирования и широкого распространения аналогии начался с обыденного сознания, и она непосредственным образом связана с повседневной жизнью людей. Выводы аналогии неоднозначны, обычно они не имеют доказательной силы.

Поэтому следует переходить от вывода по аналогии к заключению по необходимости. Любая видимая аналогия нуждается в проверке посредством фактического доказательства^[17] . Такое требование связано с тем, что можно получить ложный вывод, хотя он и строится согласно требованиям аналогии.

Схема умозаключения по аналогии.

А обладает признаками а, b, с, d.

В обладает признаками а, b, с.

Вероятно, В обладает признаком d.

ВОПРОС 14

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ - раздел дедуктивной логики, в котором ведущую роль играет влияние внутренней структуры суждений на логический вывод. Поскольку здесь полностью сохраняется характер связей логики высказываний (см. "Логика высказываний"), то Л. п. можно рассматривать как расширение последней. Классический вариант Л. п. является непосредственным преемником аристотелевской силлогистики, но субъектно-предикативная структура суждений анализируется теперь с большей глубиной

Алфавит Л. п., помимо символов логики высказываний, содержит также символы предметов: предметные переменные (х1, х2, хЗ, ...) и предметные константы (а1, а2, аЗ, ...); символы свойств и отношений: предикатные буквы (P, Q, R ...); функциональные буквы (fl, f2, О, ...); кванторы: V - квантор общности ("для всех") и 3 - квантор существования ("существует").

Дадим определение терма Л. п.: a) всякая предметная переменная или константа есть терм; b) если f - функциональная буква и tl,...,tn - термы, то f(tl, ..., tn) есть терм; c) больше никаких термов, кроме указанных в а) и Ь), нет.

Элементарные формулы Фо получаются посредством применения предикатных букв к термам: P(tl, ..., tn). В зависимости от величины n определяется "местность" функциональных и предикатных букв. Например, P(t) - одноместный предикат (свойство), R(tl, t2) - двухместный предикат (бинарное отношение) и т. д.

Синтаксическая категория формул ? Л. п. определяется так же, как и в логике высказываний, но добавляется следующее положение:

- если А формула и ? - предметная переменная, тоУхАиЭхА - тоже формулы.

Т. о. силлогистика является теорией одноместных предикатов и четыре формы ее суждений приобретают следующий вид: А - V ? (S(x) -" Р(х)) или (-3 ? (S(x) & (^Р(х)))); E - V ? (S(x) -> (ШР(х))) или (-d x (S) & ?(?))); I - ? ? (S(x) & ?(?)) или (-iV ? (S(x) -> (^?(?)))); О - 3 ? (S(x) & (-.P(x))) или (-.V ? (S(x) -> ?(?))), где S(x) и Р(х) - одноместные предикаты, соответствующие субъекту и предикату суждений.

Л. п. невозможно представить в виде алгебраической системы, т. к. процедура определения истинности ее формул, содержащих кванторы, в общем случае заключается в подстановке всех возможных значений предметных переменных. Поскольку предметная область может быть бесконечной, то и эта процедура может оказаться бесконечной. Л. п. организуется в виде исчисления предикатов, которое содержит аксиомы и правила вывода исчисления высказываний, дополняя их собственными; это исчисление непротиворечиво, полно, но неразрешимо.

ВОПРОС 15

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают:

· Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

· Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.

В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например, квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).