Условно-категорическое умозаключение

ВОПРОС 1

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. Изучение законов человеческого мышления является предметом логики.

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г. дов.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной, или Аристотелевой логикой.

Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и потребовало дальнейшего ее развития.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце ХVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

«Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому ученому Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки - математической логики.

Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач,малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований. К концу XIX столетия актуальное значение для математики приобрели вопросы обоснования ее основных понятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, приведи к дальнейшему развитию математической логики.

собенности математического мышления объясняются особенностями математических абстракций и многообразием их взаимосвязей. Они отражаются в логической систематизации математики, в доказательстве математических теорем. В связи с этим современную математическую логику определяют как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т. д.

В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношения между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее без доказательства принимаются основные положения рассматриваемой теории - аксиомы. Все дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято Евклидом в построении геометрии.

Изложение этой теории в «Началах» Евклида не безупречно. Евклид здесь пытается дать определение исходных понятия (точки, прямой, плоскости). В доказательстве теорем используются нигде явно не сформулированные положения, которые считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая логическая строгость. Отметим, что такой подход к аксиоматическому построению теории оставался единственным до XIX века. Большую роль в изменении такого подхода сыграли работы Н. И. Лобачевского (1792-1856).

Лобачевский впервые в явном виде высказал убеждение в невозможности доказательства пятого постулата Евклида (через точку, не лежащую на прямой проходит одна и только одна прямая, параллельная данной прямой) и подкрепил это убеждение созданием новой геометрии. Позже немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем фактически была доказана и невозможность доказательства пятого постулата Евклида.

Так возникли и были решены в работах Н. И. Лобачевского и Ф. Клейна впервые в истории математики проблемы невозможности доказательства и непротиворечивости в аксиоматической теории.

ВОПРОС 2

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь»

Пpиведем пример высказываний:

1. Санкт –Петербург стоит на Неве

2. Париж — столица Англии

3. Карась не рыба

4. Число 6 делится на 2 и на 3

5. Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости,

высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2) и 3) ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Различают два вида высказываний:

· Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым, или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

· Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если .... то ...», «тогда и только тогда», принято называть сложными, или составными.

Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если ..., то ...». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1, а если а ложно, то а = 0.

Основные понятия:

· Суждение — это некоторое высказывание, которое может быть истинным или ложным.

· Утверждение — это суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.

· Рассуждение — это цепочка взаимосвязанных суждений, фактов, общих положений и умозаключений, получаемых из других суждений по определенным правилам вывода.

· Дедукция — это рассуждения от общего к частному.

· Индукция — это рассуждение от частного к общему.

ВОПРОС 3

пропозициональная связка

операция, позволяющая из данных суждений (высказываний) строить новые суждения (высказывания). В логике высказываний высказывания (формулы) рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности. Если A и В - к.-л. формулы (простые, элементарные или сложные, построенные из элементарных), то из них с помощью П. с. могут строиться новые формулы: А & В, AvB, A-> B, А = В, если А - формула, то пропозициональная связкаА - также формула. Символы "&", "v", "->", "=", "пропозициональная связка" выражают П. с., которые определяются на семантическом, содержательно-алгоритмическом уровне при помощи таблиц истинности. Эти П. с. соответственно называются: конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией, отрицанием. Смысл П. с. в русском языке передается при помощи следующих выражений:

конъюнкция - с помощью союзов "и", "а", "но", "хотя" и др.;

дизъюнкция (нестрогая) - с помощью выражений: "или", "или, или оба";

импликация - с помощью выражений "если..., то", "влечет", "следует" (ср.: "Если А, то В", "А влечет В", "Из А следует В");

эквиваленция - с помощью выражений "эквивалентно", "равносильно", "тогда и только тогда", "если и только если";

отрицание-с помощью выражений "не", "неверно, что".

ВОПРОС 4

Посчитать количество переменных (n) в логическом выражении.

2. Определить число строк в таблице, которое равно m=2ⁿ .

3. Посчитать количество логических операций и определить количество столбцов в таблице, которое равно: количество переменных + количество операций.

4. Ввести название столбцов в таблицу в соответствие с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.

5. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений:

а) разделить колонку 1-ой переменной пополам, заполнить верхнюю часть нулями, а нижнюю – единицами

б) вторую колонку разделить на 4, заполнить чередующимися группами (сначала нули, единицы).

в) третью разделить на 8 и т.д.

6. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции.

ВОПРОС 5

Запишите в тетрадь следующие законы:

1. ùùА <=> A закон двойного отрицания

2. (A & B) <=> (B & A) коммутативность конъюнкции (переместительный)

3. (A V B) <=> (B V A) коммутативность дизъюнкции (переместительный)

4. (A & (B & C)) <=> ((A & B) & C) ассоциативность конъюнкции (сочетательный)

5. (A V (B V C)) <=> ((A V B) V C) ассоциативность дизъюнкции (сочетательный)

6. (A & (B V C)) <=> ((A & B) V (A & C)) дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции (распределительный)

7. (A V (B & C)) <=> ((A V B) & (A V C)) дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции (распределительный)

8. (A & A) <=> Aзаконы идемпотенции

9. (A V A) <=> A

10. (A V ùA) <=> И закон исключенного третьего

11. (A & ùA) <=> Л закон непротиворечия

12. (A & И) <=> Aоперации с константами

13. (A V И) <=> И

14. (A & Л) <=> Л

15. (A V Л) <=> A

16. ù(A & B) <=> (ùA V ùB) законы де Моргана

17. ù(A V B) <=> (ùA & ùB)

18. (A => B) <=> (ùA V B) замена импликации

19. A & (А V В) <=> A законы поглощения

20. (A V А& В) <=> A

Основные законы логики.
В логике можно выделить четыре основных закона, которые выражают коренные свойства логического мышления – его определенность, непротиворечивость, последовательность, обоснованность. К данным законам относятся: закон тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания. Они действуют в любом рассуждении, в какой бы логической форме оно ни протекало и какую бы логическую операцию ни выполняло. Наряду с основными логика изучает законы двойного отрицания, контрапозиции, де Моргана и т.д., которые также действуют в мышлении, обусловливая правильную связь мыслей в процессе рассуждения.

1) Закон тождества. Любая мысль в процессе рассуждения должна иметь определенное, устойчивое содержание. Это коренное свойство мышления – его определенность – выражает закон тождества: всякая мысль в процессе рассуждения должна быть тождественна самой себе (А есть А, или А = А, где А – любая мысль). Нельзя отождествлять различные мысли, нельзя тождественные мысли принимать за нетождественные. Нарушение этого требования в процессе рассуждения часто бывает связано с различным выражением одной и той же мысли в языке. С другой стороны, употребление многозначных слов может привести к ошибочному отождествлению различных мыслей. Отождествление различных мыслей часто связано с различиями в профессии, образовании и др. Отождествление различных понятий представляет собой логическую ошибку – подмену понятий, которая может быть как неосознанной, так и преднамеренной.

2) Закон непротиворечия. Логическое мышление характеризуется непротиворечивостью. Противоречия разрушают мысль, затрудняют процесс познания. Требование непротиворечивости мышления выражает формально-логический закон непротиворечия: два несовместимых друг с другом суждения не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них необходимо ложно. Данный закон формулируется следующим образом: неверно, что А и не-А (не могут быть истинными две мысли, одна из которых отрицает другую). Закон непротиворечия действует в отношении всех несовместимых суждений.

3) Закон исключенного третьего. Данный закон действует только в отношении противоречащих (контрадикторных) суждений. Он формулируется следующим образом: два противоречащих суждения не могут одновременно быть ложными, одно из них необходимо истинно: А есть либо В, либо не-В. Истинно либо утверждение некоторого факта, либо его отрицание. Противоречащие суждения – это суждения, в одном из которых что-либо утверждается (или отрицается) о каждом предмете некоторого множества, а в другом – отрицается (утверждается) о некоторой части этого множества. Эти суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными: если одно из них истинно, то другое ложно и наоборот. Противоречащими являются также два суждения об одном предмете, в одном из которых что-либо утверждается, а в другом то же самое отрицается.

4) Закон достаточного основания. Требование доказанности, обоснованности мысли выражает данный закон: всякая мысль признается истинной, если она имеет достаточное основание. Если есть В, то есть и его основание А. Достаточным основанием мыслей может быть личный опыт человека. Истинность некоторых суждений подтверждается путем их непосредственного сопоставления с фактами действительности. Истинность законов, аксиом подтверждена практикой человечества и не нуждается поэтому в новом подтверждении. Для подтверждения какого-либо частного случая нет необходимости обосновывать его при помощи личного опыта. Достаточным основанием какой-либо мысли может быть любая другая, уже проверенная и установленная мысль, из которой с необходимостью вытекает истинность данной.

ВОПРОС 6

Бу́левафу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебрыло́гики^[от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bⁿ → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла. Неотрицательное целое число n называютарностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу. Элементы декартова произведения (n-я прямая степень) Bⁿ называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа аргументов часто обозначается P₂, а от n аргументов — P₂(n). Переменные, принимающие значения избулева множества называются булевыми переменными^[2]. Булевы функции названы по фамилии математика Джорджа Буля.

При работе с булевыми функциями происходит полное абстрагирование от содержательного смысла, который имелся в виду в алгебре высказываний

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

ВОПРОС 7

Условно-категорическое умозаключение

Условно-категорическим называется умозаключение, одна из посылок которого является условным суждением, а другая посылка и вывод — категорическими суждениями.

Условное суждение имеет форму: если A есть B, то C есть D, например: если Земля вращается вокруг своей оси, то происходит смена дня и ночи. Первое суждение есть основание (антецедент), а второе — следствие (консеквент).

Существуют два модуса условно-категорических умозаключений. Первый из них называется modusponens, то есть устанавливающий, утверждающий, конструктивный модус; второй называется modustolens, то есть разрушающий, отрицающий,деструктивный модус.

Конструктивный модус имеет следующий вид.

Если A есть B, то C есть D;

A есть B;

Следовательно, C есть D.

Например:

Если Земля вращается вокруг Солнца, то происходит смена дня и ночи;

Земля вращается вокруг Солнца;

Следовательно, происходит смена дня и ночи.

• В условно-категорическом умозаключении в конструктивном модусе утверждается антецедент.

Это правило связано с тем, что при несовместимых суждениях-антецедентах, одно из которых ложно, возможно истинное заключение: если Земля вращается вокруг Солнца, то происходит смена дня и ночи, если Солнце вращается вокруг Земли, то происходит смена дня и ночи, поэтому нельзя сделать заключение: *происходит смена дня и ночи, следовательно, Земля вращается вокруг Солнца.

Деструктивный модус имеет следующий вид.

Если A есть B, то C есть D;

C не есть D;

Следовательно, A не есть B.

• В условно-категорическом умозаключении в деструктивном модусе отрицается консеквент.

При отрицании следствия любой из возможных в принципе альтернативных антецедентов окажется ложным: если смены дня и ночи не происходит, то Земля не вращается вокруг Солнца и Солнце не вращается вокруг Земли.

Если человек есть мера всех вещей, то принципы нравственности условны;

Принципы нравственности не условны;

Следовательно, человек не есть мера всех вещей.

Рассмотрим, однако, следующие умозаключения, которые иногда подводят преподавателя:

Если студент слушает лекции, то он приобретает необходимые познания;

Студент N слушал лекции;

Следовательно, он приобрел необходимые познания.

Или:

Если студент слушает лекции, то он приобретает необходимые познания;

Студент N не приобрел необходимых познаний;

Следовательно, он не слушал лекции.

Понятно, что оба они могут оказаться ложными, ибо не всякий, кто слушает лекции, понимает их.

• Условием истинности условно-категорического умозаключения является наличие в качестве посылок так называемых невыделяющих суждений, удовлетворяющих условию если и только если.

Итак, доказательным (при условии истинности большей посылки) будет следующее рассуждение:

Если и только если студент слушает лекции, он приобретает необходимые познания;

Студент N не приобрел необходимых познаний;

Следовательно, он не слушал лекций.

Дедуктивное умозаключение

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дедукция (лат. deductio — выведение) — метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования.

Началом (посылками) дедукции являются аксиомы или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция — основное средство доказательства. Противоположно индукции.

Пример дедуктивного умозаключения:

1. Все люди смертны.

2. Сократ — человек.

3. Следовательно, Сократ смертен.

ВОПРОС 8

Умозаключение, в котором одна посылка состоит из нескольких условных суждений, а другая является разделительным суждением, называется условно

разделительным.

Умозаключения этого типа называют еще лемматическими (от греческого lemma – предложение, предположение) Это название указывает на то, что в этих умозаключениях рассматриваются (сопоставляются) различные предположения и вытекающие из них следствия.

В зависимости от числа условных суждений (альтернатив) различают дилеммы, трилеммы и полилеммы. Дилемма содержит в себе две альтернативы. Трилемма – три, а полилемма – четыре и более.

Дилемма является наиболее распространенной разновидностью условно-разделительных умозаключений. Дилеммы бывают конструктивные и деструктивные. Дилемма может быть простой либо сложной.

Простая конструктивная дилемма. В условной посылке простой конструктивной дилеммы утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. В разделительной посылке утверждается, что выбор ограничен только этими двумя основаниями. В заключении утверждается следствие условных посылок.

Простая конструктивная дилемма применяется тогда, когда необходимо показать неизбежность какого-либо явления, события, решения. Данная цель достигается, когда мы показываем, что это явление может быть обусловлено двумя альтернативами, и что это – все возможные альтернативы.

ВОПРОС 9

Простой категорический силлоги́зм (греч. συλλογισμός) — рассуждение мысли, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения. Посылки силлогизма разделяются на бо́льшую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения). По положению среднего термина силлогизмы делятся на фигуры, а последние по логической форме посылок и заключения — на модусы.