Частотный критерий устойчивости Найквиста-Михайлова     

В основу всех частотных критериев устойчивости положен принцип аргумента. Одним из наиболее часто используемых частотных критериев устойчивости является критерий Найквиста-Михайлова, позволяющий оценить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Для применения критерия Найквиста-Михайлова требуется знание следующих характеристик разомкнутой системы:

а) амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), либо логарифмическая амплитудная и фазовая характеристики (ЛАХ, ЛФХ) разомкнутой системы;

б) количество r правых корней характеристического уравнения P(s)=0, если разомкнутая система неустойчива;

в) количество  нулевых корней, или корней принадлежащих мнимой оси, характеристического уравнения P(s)=0 разомкнутой системы.

При использовании АФХ разомкнутой системы критерий устойчивости Найквиста-Михайлова формулируется следующим образом.

Если разомкнутая система устойчива (r=0), то замкнутая система так же будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1;j0), при изменении  от - до + .

Если разомкнутая система неустойчивая (r 0), то замкнутая система будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы охватит точку (-1;j0) в положительном направлении r раз при  от - до + , где r-количество правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

В случае, когда  корней характеристического уравнения P(s)=0 разомкнутой системы нулевые, например у систем, передаточная функция которых содержит  интегрирующих звеньев,

,                                                                                    (3.8)

АФХ разомкнутой системы при =0 имеет неопределенность так, как амплитудная характеристика при равна .

Устранение этой неопределенности при переходе от бесконечно малых частот отрицательного знака к бесконечно малым частотам положительного знака осуществляется поворотом ветви АФХ по окружности бесконечного радиуса на угол , то есть по часовой стрелке.

При практическом применении критерия Найквиста-Михайлова количество охватов АФХ точки (-1;j0) удобно определять по количеству пересечений АФХ вещественной оси на интервале ( ;-1).

Обозначим П -количество пересечений сверху вниз, а П -количество пересечений снизу вверх АФХ разомкнутой системы вещественной оси на участке ( ;-1). При этом направление  означает увеличение фазы, а направление - ее уменьшение.

Тогда при устойчивой в разомкнутом состоянии системе (r=0), замкнутая система будет устойчива, если

П -П =0                                                                                              (3.9)

во всем диапазоне частот от - до + .

Если разомкнутая система неустойчива (r 0), то замкнутая система будет устойчива, если

П -П =2                                                                                            (3.10)

Используя соотношения (3.9) и (3.10) можно перейти к формулировке критерия Найквиста-Михайлова по логарифмическим характеристикам. В этом случае рассматривается разность пересечений ЛФХ разомкнутой системы уровня  снизу вверх и сверху вниз при положительных значениях ЛАХ в диапазоне частот от 0 до .

Если разомкнутая система устойчива (r=0), то замкнутая система является устойчивой при условии

П -П =0                                                                                            (3.11)

Если разомкнутая система не устойчива (r 0), то замкнутая система будет устойчива при условии

П -П =                                                                                           (3.12)

При практическом применении критерия Найквиста-Михайлова, устойчивость замкнутой системы можно оценить по запасам устойчивости. Для этого введем в рассмотрение частоту , при которой  и частоту среза , при которой  или .

Запас устойчивости по фазе - это величина, показывающая, на сколько можно уменьшить фазу системы на частоте среза, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости:

                                                                                       (3.13)

Запас устойчивости по амплитуде – это величина, показывающая, во сколько раз можно увеличить или уменьшить передаточный коэффициент системы при неизменных значениях всех остальных параметров, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости:

, или                                                             (3.14)

Если замкнутая система устойчивая, то она имеет запасы устойчивости и по амплитуде-  и по фазе- .

На рис. 3.6-3.9 показаны различные варианты применения критерия Найквиста-Михайлова.

Рис.3.6 Пример неустойчивой замкнутой системы

Рис.3.7 Пример устойчивой замкнутой системы

Рис.3.8 Пример устойчивой замкнутой системы

Рис.3.9 Пример устойчивой замкнутой системы