Визначення кривої в диференціальної геометрії. Елементарна, проста                        та загальна крива. Регулярна крива. Способи завдання кривих.

23. Кривина та скрут кривої. Тригранник Френе.

Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе

24. Формули Френе.

Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе)

Если рёбра естественного трёхгранника в данной точке кривой принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то уравнение кривой в естественной параметризации раскладывается в окрестности этой точки в ряд по координате вдоль кривой.

С помощью Френе формулы исследуются дифференциально-геометрические

свойства кривых линий.

25. Елементарна, проста та загальна поверхня. Регулярна поверхня. Способи завдання поверхонь.

Дотична площина. Нормаль. Перша квадратична форма поверхні. Довжина дуги кривої на поверхні, кут між кривими.

27. Лінії на поверхні (лінії кривини, асимптотичні лінії ).

Друга квадратична форма. Нормальна кривина поверхні в данному напрямку. Головні напрямки та головні кривини.

29. Відстань точки до прямої на площині і в просторі. Відстань між мимобіжними прямими.

30. Диференційовані многовиди. Приклади многовидів.

 Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений диференціальною структурою. Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові інфінітезімальні структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.

Приклади многовидів

• Одновимірний многовид — це крива, наприклад, пряма, коло, еліпс, гіпербола, або парабола. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена дотична, яка неперервно залежить від точки.

• Двовимірний многовид — це поверхня, наприклад, сфера, циліндр, параболоїд, тор, куб, тетраедр тощо.

Многовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.

• Компактниий зв'язаний многовид без границі називається замкнутим.

• n-вимірна сфера, або гіперсфера: