Взаємне розташування прямої та площини в 3-вимірному афінному просторі

12. Взаємне розташування двох прямих в 3-вимірному афінному просторі

Площини у 3-вимірному евклідовому просторі.

14. Пряма у 3-вимірному афінному  просторі.

Площина в евклідовому просторі. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.

Пример:

16. Кут між площинами, прямими, прямою та площиною.

        Кут між прямою та площиною

Кут між двома прямими в просторі

   Кут між двома площинами

Площі та об’єми.

Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе

Поверхні обертання, еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди. Циліндричні та конічні поверхні (в аналітичному викладі).

Эллипсоид (рис. 4.18) Каноническое уравнение:

- трехосный эллипсоид;

- эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

- эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

- эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

- сфера.

Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо .

Гіперболо́їд (грец. від hyperbole - гіпербола, і eidos - подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

(Однопорожнинний гіперболоїд),

де a і b- дійсні півосі, а c- уявна піввісь;

або

(двопорожнинний гіперболоїд),

де a і b - уявні півосі, а c- дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься - гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двополосний - навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней, від яких до двох заданих точок A і B постійний: . У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.

(Однопорожнинний гіперболоїд) (двопорожнинний        параболоид

                                                             гіперболоїд) 

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:  

• если и одного знака, то параболоид называется эллиптическим.
• если и разного знака, то параболоид называется гиперболическим.
• если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

19. Група перетворень подібності площини та її підгрупи.

Поняття проективного простору. Моделі проективного простору.

21. Топологічний простір. Гомеоморфні відображення.

Пример: