Взаимное расположение двух плоскостей

Афінні простори. Афінні координати. Формули перетворення

Афінних координат точок.

2. Площини в афінних просторах.

Плоскость  определенной точкой  и двумя неколлинеарными векторами  называется множество точек аффинного пространства  такое что .

 - числа (параметры)

 - векторно-параметрическое уравнение плоскости

 – опорная точка

 - базисные векторы плоскости

 - общее уравнение плоскости

Одномерная плоскость – прямая.

Если m = n – 1, то плоскость называется гиперплоскостью.

 - параметрическое уравнение n-мерной плоскости

Если ранг = 1, то плоскости совпадают.

Если ранг матрицы = 2, то плоскости пересекаются по прямой.

Плоскости называются параллельными, если  либо

(ранг матрицы =1 ранг расширенной матрицы = 2)

Плоскости называются скрещивающимися, если они не параллельны и не имеют общих точек

Аксіоми скалярного множення. Евклідові векторні простори. Евклідові точково-векторні простори.

Кут між векторами. Ортогональні вектори. Ортонормовані базиси і прямокутні координати.

5. Векторний та мішаний добутки.

Прямі в афінному прсторі. Паралельні прямі. Відрізки. Просте відношення трьох точок.

Теорія прямих на афінній площині. Способи завдання прямої на афінній площині. Взаємне розташування двох прямих. Жмуток прямих.

Теорія прямих на евклідовій площині. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

9. Еліпс, гіпербола, парабола.

Площини у 3-вимірному афінному просторі Геометричні способи завдання площини. Взаємне розташування двох площин. Жмуток площин.

 Плоскость в трехмерном аффинном пространстве  может быть задана:

1) векторно параметрическим уравнением , где a, b – неколлинеарные направленные векторы плоскости,  - радиус-вектор фиксированной точки плоскости.

Возьмем теперь в пространстве аффинную систему координат Охyz. Пусть в этой системе координат точки и векторы имеют соответствующие координаты . Тогда в заданной системе координат уравнения  равносильные трем уравнениям для координат: . Эти уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости.

2) общим уравнением

.

Система уравнения или эквивалентна ее системе выражает линейную зависимость рядов матрицы или уравнение  где  Уравнение можно назвать общим уравнением плоскости, которая проходит через тоску .

Уравнением плоскости, которое проходит через три точки с координатами , которое не лежит на одной прямой, можно записать в виде

Пусть плоскость проходит через точки  где . Тогда уравнение этой плоскости можно записать в виде . Это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках.

Прямая линия в пространстве может быть задана:

1) векторно параметрическим уравнением , где а – направленный вектор прямой,  - радиус-вектор фиксированной точки прямой.

Если уравнение  записать в аффинной системе координат, то получим параметрическое уравнение прямой в пространстве: . Включением параметра параметрические уравнения сводится к канонической форме . Уравнение прямой, которое проходит через две разные точки, можно задать в векторной форме , где  - радиус-вектор данных точек, а  - их аффинные координаты.

Прямую l можно задать как линию пересечения

Взаимное расположение двух плоскостей

Если , то они:

1) пересекаются

2) параллельны (но не совпадают)

3) совпадают

Если плоскости заданы уравнениями и то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

1)

2)

3)

Пучок плоскостей

Если

есть ось пучка, то уравнение пучка

Существует всего 4 способа задания плоскости
Положение плоскости в пространстве определяется:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий, рис.1
б) прямой и точкой, взятой вне прямой, рис.2
в) двумя пересекающимися прямыми, рис.3
г) двумя параллельными прямыми. рис.4
Каждое из представленных на рис. 1— 4 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 1) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 2: от него мы можем перейти к рис. 4, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ.

рис.1 рис.2                  рис.3 рис.4