Кинетостатический расчет механизма

Кинетостатическим, в отличии от статического, называется расчет механизма с учетом сил инерции. Целью кинетостатического расчета является определение сил, действующих на звенья механизма, реакций в кинематических парах и затрат энергии, необходимой для приведения механизма в движение и выполнения им работы в соответствии с его назначением.

Для выполнения кинетостатического расчета необходимо иметь:

- планы скоростей и ускорений для заданного положения звеньев механизма;

-величину масс подвижных звеньев и моменты их инерции (для звеньев, совершающих вращательное движение);

-закон изменения силы полезного сопротивления при работе механизма.

Кинетостатический расчет начинается с выделения из механизма групп Ассура, являющихся статически определимой системой (рис.6). Вначале рассматривается группа, находящаяся на фазе сжатия. К данной группе приложена сила полезного сопротивления Р_с. В рассматриваемом здесь примере безразлично с какой группы начинать расчет. Вместе с тем, для расчета группу необходимо изобразить на чертеже в таком положении, в котором она находится в механизме с соблюдением масштаба. Допускается увеличить размеры звеньев с изменением масштаба изображения.

Для выделенной группы определяем действующие на ее звенья силы. Для этого составляем векторное уравнение равновесия сил:

              ^{,                 (17)}

где G₂, G₃ - силы тяжести соответственно шатуна и поршня;

  Р₂, Р₃ - силы инерции этих звеньев;

  Р_с - сила полезного сопротивления - сила давления сжатого воздуха в цилиндре на рабочую поверхность поршня;

  R₆₃ - реакция   стенок цилиндра (звено 6) на поршень 3. R₆₃ является геометрической суммой силы нормального давления N и силы трения F, направленной против движения поршня. Реакция отклонена от силы N на величину угла трения φ, тангенс которого равен коэффициенту трения . При расчетах механизмов принимают =0,1 (полусухое трение), следовательно

    - соответственно нормальная и тангенциальная составляющие реакции со стороны отброшенного звена 1. Нормальная составляющая направляется произвольно по шатуну.

 Реакция в точке В, где осуществляется соединение шатуна с поршнем является внутренней силой и не влияет на равновесие сил, действующих на эту группу. На плане сил определяется, как сумма всех сил, действующих на какое-либо звено рассматриваемой группы.

Рис.6 Расчетная схема для 1-ой группы Ассура

Для графического решения векторного уравнении (17) необходимо добиться, чтобы в нем осталось две неизвестные величины.

Сила тяжести шатуна:

G₂=m₂g [Н]

Сила тяжести поршня:

G₃=m₃g [Н]

Сила инерции шатуна :
                                                  

Сила инерции поршня:
                                                  

Силы инерции приложены в центрах масс соответствующих звеньев и направлены против векторов ускорений этих звеньев (рис.6).

К звену 2 необходимо приложить еще момент сил инерции, который направлен противоположно угловому ускорению ε₂:

М_и2 = J_S2 ε₂ [Н м],

где J_S2 - момент инерции звена относительно центра масс (задается).

На расчетной схеме момент инерции М_и2 направлен не только относительно т.А, но и относительно т.В для того, чтобы из уравнения равновесия моментов всех сил относительно т.В (ΣМ_В=0) определить тангенциальную составляющую R₁₂^t. Знак момента сил выбирается произвольно. Примем в нашем случае положительное направление моментов против часовой стрелки:

                        R₁₂^t ℓ_AB -P_u2h_u2K_ℓ -M_u2+G₂h₂ K_ℓ =0 ,                     (18)

где h₂, h_и2 - плечи действия соответствующих сил относительно т.В - измеряются на чертеже и подставляются в мм;

 h₂K_ℓ - перевод миллиметров чертежного размера в метры действительного размера.

Из уравнения (18) находим :

Силу полезного сопротивления  Р_с  определяем по формуле:

^,

где P_i - давление сжатого воздуха на единицу площади рабочей поверхности поршня (МПа) в зависимости от фазы работы поршневой группы;

   πd_ц²/4 - площадь рабочей поверхности поршня (м²);

   d_ц - диаметр рабочей поверхности поршня (задается).

Давление P_i определяется с помощью индикаторной диаграммы,  в соответствии с процессом, происходящим в цилиндре компрессора (всасывание, сжатие, нагнетание). Если поршень движется к оси вращения кривошипа, то данной поршневой группой реализуется фаза всасывания воздуха.

 Индикаторная диаграмма характеризует изменение давления воздуха в цилиндре за цикл, соответствующий повороту кривошипа на 360°и строится по данным, представленным в таблице 1:

Таблица 1 Характерные точки для построения индикаторной диаграммы

Здесь: S_Bmax – максимальный ход поршня; для центрального кривошипно -ползунного механизма: S_Bmax =2r₁,

где r₁- радиус кривошипа.

S_B - фактическое перемещение поршня от крайнего положения до заданного в соответствии с происходящим в цилиндре процессом(всасывание, сжатие, нагнетание).

P_max-максимальное давление воздуха в компрессоре (задается).

Для построения индикаторной диаграммы в системе координат xyz  (рис.7) по оси x откладываем перемещение поршня S_Bmax ,которое делим на десять равных частей. По оси y в произвольном масштабе откладываем величину давления в цилиндре в MПа.

Рис.7 Индикаторная диаграмма работы компрессора

В соответствии с таблицей 1 при S_B/S_Bmax=0, величина давления в цилиндре компрессора равна его максимальному значению; при S_B/ S_Bmax=0,1давление в цилиндре P_i=0,3P_max, а при S_B/ S_Bmax=0,2 давление P_i=0. Отложив на графике полученные значения P_i получим кривую 1, характеризующую изменение давления оставшегося в цилиндре воздуха при движении поршня в режиме всасывания. Следует отметить, что давление оставшегося воздуха будет создавать движущую силу действующую в направлении движения поршня.

При дальнейшем движении поршня в цилиндре будет создаваться разряжение и произойдет всасывание воздуха (прямая 2).

На схеме механизма (рис.1) режим всасывания соответствует движению поршня 3 от точки В к точке O ,поршня 5 – от точки С к точке O.

При движении поршня в обратном направлении происходит сжатие воздуха в цилиндре. Величина давления изменяется в соответствии с кривой 3, построенной на основании данных таблицы 1. Также, например, перемещение поршня на одну десятую хода (от 1,0 до 0,9) увеличивает давление до P_i= 0,04P_max, перемещение от 0,9 до 0,8 увеличивает давление до P_i= 0,08P_max  и т.д. Откладывая полученные таким образом значения давления воздуха в цилиндре на графике, получим кривую 3 (сжатие воздуха в цилиндре). Максимальное давление воздуха достигается при  S_B/ S_Bmax=0,2, после чего происходит его нагнетание в резервуар (линия 4).

Для определения величины давления P_i, соответствующей заданному положению кривошипа, с использованием индикаторной диаграммы необходимо определить соотношение S_B/ S_Bmax для своего положения. Для этого на плане механизма или аналитически определяется фактический пройденный поршнем путь S_B от его крайнего положения в соответствии с происходящим в компрессоре процессом (всасывание или нагнетание).

Например, для поршня 3 (рис.1) процесс сжатия начался, когда точка А была в положении 7, а полный ход соответствует повороту кривошипа из положения 7 в положение 12. Разделив величину перемещения поршня S_B на величину полного хода поршня S_Bmax получим 0,9. При отсчете по кривой 3 справа налево (сжатие) найдем величину давления в цилиндре P_i, МПа, что позволяет определить силу Р_с.

В результате в векторном уравнении (17) осталось две неизвестные величины R₆₃ и R₁₂ⁿ, что позволяет его решить графически. Для этого выбираем масштабный коэффициент построения плана сил K_P1 [Н/мм], который показывает, сколько единиц силы содержится в одном миллиметре отрезка, изображающего вектор этой силы на чертеже. Величина масштабного коэффициента К_Р выбирается произвольно исходя из возможности размещения плана сил на имеющейся площади чертежа. Рекомендуется K_P1 определять через максимальную силу, задавая ее величину на плане сил не менее 100 мм.

Разделив численные значения известных сил на выбранный масштабный коэффициент К_Р1 найдем величину отрезков-векторов, изображающих эти силы на чертеже.

Далее строим план сил (решаем уравнение (17) графически), откладывая последовательно отрезки-векторы сил на чертеже (рис.8), параллельно действующим силам. Для удобства определения реакции в точке В необходимо группировать силы, действующие на одно звено.

Рис.8 План сил для 1-ой группы Ассура

После построения плана сил определяем неизвестные силы:

R₁₂ⁿ=К_Р1· R₁₂ⁿ(черч)     [H]

R₁₂=К_Р1· R₁₂(черч)     [H]

R₆₃=К_Р1· R₆₃(черч)     [H]

Для определения реакции в точке В замыкаем вектором R_В3 силы, действующие на звено 3, при этом так же замыкаются силы, действующие на звено 2, но направление вектора R_В2 изменяется на противоположное.

R_В=К_Р1· R_В3(черч)     [H]

Аналогичным образом определяем силы и моменты, действующие на звенья структурной группы 4-5 (Рис.9).

Рис.9 Расчетная схема для 2-ой группы Ассура

Cилы тяжести:

G₄=m₄g [Н]

G₅=m₅g [Н]

Силы инерции:

 [Н]

 [Н]

Момент сил инерции:

 М_и4 = J_S4 ε₄  [Нм]

Момент инерции  J_S4 звена 4 равен моменту инерции  J_S2 звена 2.

Уравнение равновесие сил, действующих на звенья 4 и 5 в векторной форме:

                                         (19)

Рассматриваемая поршневая группа находится в фазе всасывания воздуха, поэтому при соотношении S_С/S_Сmax≥ 0,2, согласно индикаторной диаграмме (рис.7), давление Р_i, а, следовательно, и сила полезного сопротивления Р_с равны 0. При выбранном положении кривошипа 1 (рис.1) S_С/S_Сmax = 0,34, следовательно Р_с = 0.

Для графического решения уравнения (19) определяем величину силы  из уравнения моментов сил, действующих на звено 4 относительно точки C.

откуда находим:

                                , [Н]

Выбрав масштаб плана сил К_Р2 и разделив на него численные значения сил, действующих на звенья группы 4-5, из полученных отрезков-векторов строим план сил (рис.10).

Рис.10 План сил для 2-ой группы Ассура

Определив с помощью плана сил величину отрезков-векторов неизвестных сил находим их величину:

R₁₄ⁿ=К_Р2· R₁₄ⁿ(черч)     [H]

R₁₄=К_Р2· R₁₄(черч)     [H]

R₆₅=К_Р2· R₆₅(черч)     [H]

Замыкая векторы сил, действующих на звено 4 (или 5) находим реакцию в точке C:

R_С=К_Р2· R_С5(черч)     [H]

На кривошип 1 в кинематических парах А₁ и А₂ действуют силы R₂₁ и R₄₁ соответственно, равные определенным ранее R₁₂ и R₁₄ и противоположные им по направлению.

Силы R₂₁ и R₄₁ создают момент сопротивления движению, поэтому для его преодоления к кривошипу необходимо приложить уравновешивающий момент М_ур, равный по величине суммарному моменту от сил R₂₁ и R₄₁ и направленный в противоположную сторону (рис.11).

Рис.11 Схема моментов сил, действующих на кривошип

Для определения М_ур составляем уравнение равновесия моментов всех сил относительно т.О (ΣМ_О=0):

                           М_ур -R₂₁h₂₁K_ℓ  - R₄₁h₄₁ K_ℓ =0 ,                     

                        М_ур =R₂₁h₂₁K_ℓ  + R₄₁h₄₁ K_ℓ   [Н м]                                        

Кинетостатический расчет механизма обычно прозводится за полный цикл (в данном случае поворот кривошипа на 360⁰), в рамках которого для ряда положений механизма определяется величина М_ур и строится график его изменения в зависимости от угла поворота кривошипа (рис.12).

Рис.12 График изменения уравновешивающего момента

Площадь f под кривой [М_ур, φ₁]  определяет работу, которую должен выполнять двигатель, приводящий механизм в движение. Ордината у_дв, равная высоте прямоугольника, площадь которого также равна f, соответствует в масштабе моменту двигателя:

                                            М_дв = К_М у_дв, [Н м]                

где  К_М - масштабный коэффициент моментов.

Мощность двигателя на основе кинетостатического расчета можно определить по формуле:

                                              ,                           (20)                

где n₁- число оборотов кривошипа, мин^-1;

Из формулы (20) следует:

                                                 [КВт]                            

Минимальная мощность двигателя, необходимая для преодоления сил сопротивления в поршневых компрессора, определяется из граничного условия М_дв = М_ур.

При силовом расчете механизма за цикл желательно построить годографы сил, действующих в кинематических парах.

Далее определяем силы, действующие на коленчатый вал (кривошип 1 на рис.1). Для этого расположим кривошип в системе координат ху (рис.13) и найдем проекции этих сил на оси.

Рис.13 Схема определения проекций сил R₂₁ и R₄₁

R₂₁^х = R₂₁ cosα₂₁ [H]

R₂₁^y = R₂₁ sinα₂₁ [H]

R₄₁^х = R₄₁ cosα₄₁ [H]

R₄₁^y = R₄₁ sinα₄₁ [H]

Для определения составляющих реакций углы α₂₁ и α₄₁ измеряются.

В рассматриваемом механизме кривошип представляет собой двухопорный вал, к колену которого присоединяются шатуны 2 и 4. Так как шатуны и поршни этого механизма движутся в параллельных плоскостях, реакции в подшипниках коленчатого вала определим из пространственной схемы (в осях xyz) действия на него составляющих сил R₂₁ и R₄₁ (рис.14). Реакции в подшипниках O₁ и O₂ представим в виде составляющих, направленных по осям координат.

Рис.14 Расчетная схема для определения реакций в опорах коленчатого вала

Так как при силовом расчете неизвестны конструктивные размеры a и b коленчатого вала (задаются дополнительно), задача решается в общем виде.

Для определения составляющей R_O1^х  составляем уравнение равновесия моментов всех сил относительно точки О₂ и оси у (ΣМ_О2^у=0). При этом принимаем, что момент является положительным если со стороны положительного направления оси, относительно которой он реализуется, данный момент действует против часовой стрелки:

                       - R₄₁^ха - R₂₁^х(a+b) + R_O1^х(2a+b) = 0

откуда            R_O1^х = (R₂₁^х(a+b) + R₄₁^ха) /(2a+b)

Если составляющая R_O1^х получается отрицательной, значит, ее необходимо перенаправить на расчетной схеме в противоположную сторону.

Аналогично составляем уравнения равновесия моментов сил для определения остальных неизвестных:

ΣМ_О2^х=0:        - R₄₁^уа + R₂₁^у(a+b) - R_O1^у(2a+b) = 0

ΣМ_О1^у=0:           R₂₁^хa +R₄₁^х(a+b) - R_O2^х(2a+b) = 0

ΣМ_О1^х=0:        - R₂₁^уa + R₄₁^у(a+b) + R_O2^у(2a+b) = 0

Величины реакций в подшипниках O₁ и O₂ находим по формулам:

Вектора реакций R_O1 и R_O2 образуют с осью х углы γ₁ и γ₂, определяемые из соотношений:

                       cos γ₁ = R_O1^х / R_O1;  cos γ₂ = R_O2^х / R_O2