Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами

(выполняется по указанию преподавателя)

Кинематическое исследование механизмов методом построения планов скоростей и ускорений позволяет определить с достаточной точностью величину и характер изменения кинематических параметров механизма. Однако построение планов скоростей и ускорений для нескольких положений механизма за весь цикл значительно увеличивает объем проводимой работы, особенно для сложных механизмов. Кроме того, при этом методе значительно усложняется процесс оптимизации кинематических параметров. Из-за необходимости многократных построений планов скоростей и ускорений. При использовании вычислительной техники для кинематического исследование механизмов необходимо иметь аналитические зависимости искомых параметров, позволяющие определять их за весь цикл в соответствии с изменениям обобщенных координат.

Одним из методов аналитического исследования кинематики механизмов является метод замкнутых векторных контуров, предложенный В.А. Зиновьевым [ ].

Рис.5 Параметры кривошипно-ползунного механизма

При кинематическом исследовании механизмов этим методом каждое звено механизма представляется в виде вектора определенного направления. Рассмотрим этот метод на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.5), в котором кривошип ОА является вектором , а шатун АВ вектором . Положение точки B в системе координат xoy  обозначено вектором Условие замкнутости векторов при принятом направлении векторов  и :

                                                                                   (3)

Углы  и  соответственно определяют положение векторов  и   в выбранной системе координат. Спроектируем эти векторы на оси координат:

                                                        (4)

                                                                     (5)

Одной из основных задач в данном случае является нахождение функции изменения кинематических параметров механизма при изменении обобщенной координаты   . Как следует из уравнения (5):

                                                                               (6)

Обозначим  - параметр механизма, который в кривошипно-ползунных механизмов транспортных машин изменяется в пределах  и определяет их габариты. С учетом   формула (6) примет вид:

                                                                              (7)

Продифференцируем уравнение (5) по времени при условии .

                                                        (8)

 Из уравнения (8) определим угловую скорость шатуна:

                                                                                (9)            

Для определения углового ускорения шатуна  продифференцируем уравнение (8):

0

Откуда следует:

                                                          (10)

Направление угловых скоростей и ускорений определяется по соответствии их знака принятому положительному направлению отсчета углов и .

В соответствии с (7) формулу (4) представим в виде:                                                           

Чтобы избавиться от радикала разложим его в бесконечный ряд Маклорена:

Этот ряд быстро сходится и для практических расчетов при      достаточно использовать два первых члена. Величина третьего члена  при   и  составляет  или 0,05% от единицы.

Таким образом, положение точки B можно приближенно, но с достаточной степенью точности определить по формуле:

                                                  (11)

Продифференцировав дважды уравнение (11) получим также приближенные формулы для определения скорости точки B:                       

                                                         (12)                           

и соответственно ускорение:

                                                        (13)

Точное значения ускорения  представляется в виде бесконечного тригонометрического ряда:

          ,

коэффициенты, которого определяются в зависимости от величины . В частности, при  коэффициент = 0,254, т.е. незначительно отличается от . Для других значений параметра  коэффициенты  также незначительно отличаются от его величины, что подтверждает возможность использования формул (12) и (13) при различных .

Определим экстремальные значения ускорения точки B. Для этого продифференцируем уравнение (13) по независимому переменному  и приравняем его к нулю.

                                                       (14)

Уравнение (14) дает возможность определить угол , при котором  имеет экстремальные значения. Учитывая, что  не равно нулю, и заменив  его значениями после преобразования получим:

откуда                                                                               (15)

                                                                              (16)

Из уравнения (15) получим значения угла  и . При этих значениях угла  имеют место два вида уравнений, определяющих экстремальные значения ускорения :

                             при ; 

Уравнение (16) добавляет еще два дополнительных экстремальных значения в соответствии с формулой:

 Так как , то это уравнение справедливо, если . При этом значении  получается два угла (во второй третьей четвертях), при которых ускорение  имеет экстремальные значения. Характер изменения ускорения  в зависимости от угла  для разных значений параметра  показан на (рис.13).

При кинематическом исследовании сложного механизма (рис.1), состоящего в общем из двух кривошипно-ползунных механизмов с одним кривошипом, необходимо составить расчетную схему, которая будет зависеть от расположения выбранной системы координат.