Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

I. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры,

Аналитической геометрии.

1.Решить систему линейных уравнений: а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера; в) матричным способом.

.

Решение.

Матрица системы из коэффициентов при неизвестных и столбец свободных членов:

Определитель А:

Расширенная матрица:

Где последний столбец соответствует столбцу свободных членов!!

а ) Метод Гаусса.

В методе Гаусса требуется привести матрицу А к верхнетреугольной матрице. Занулим коэффициент при  во втором и третьем уравнении, для этого умножим первую строку на -4 и сложим со второй:

Далее сложим третью строку с первой умноженной на -2:

Теперь занулим второй коэффициент в третьем уравнении. Для этого сложим третью строку со второй умноженной на- :

Из последней строки следует

Из второй строки  подставляя  находим:

И из первого уравнения:

б ) Формулы Крамера

Определитель основной матрицы мы нашли . Для нахождения третьей неизвестной, заменяем в матрице А третий столбец столбцом В и ищем определитель.

Значит:

Находим такой же определитель для :

Значит:

Так же для :

Значит:

в ) Матричным методом

Найдем обратную матрицу, для этого найдем все алгебраические дополнения:

Тогда столбец неизвестных определится как:

Решено!!

Дан треугольник . Найти:

1) точку пересечения медиан треугольника;

2) уравнение высоты, проведенной из вершины , и ее длину;

3) угол  (в градусах).

; ;

Решение

1)Для того что бы найти точку пересечения 3 медиан, достаточно найти точку пересечения 2 медиан.

Найдем их уравнения.

Медиана из вершины А.  Середина стороны BC находится как:

Тогда уравнение прямой, проходящей через точки А и  таково:

Медиана из вершины B. Середина стороны BC находится как:

Тогда уравнение прямой, проходящей через точки А и  таково:

Находим точку пересечения приравниваяигрики:

И подставляя, например в первое уравнение:

2)Воспользуемся тем, что высота из вершины Bперпендикулярна стороне АС. То есть

Вектор , вектор , тогда:

Этаже точка должна принадлежать прямой АС, ее уравнение:

Приравнивая игрики находим икс:

Значит:

Длина высоты:

3)Угол найдем по теореме косинусов, для этого найдем длины всех сторон:

И по теореме косинусов:

Дана пирамида . Найти:

1) угол между ребром  и плоскостью ;

2) площадь грани ;

3) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины ;

Объем пирамиды.

, , , .

1)

Тогда:

Далее:

2)

3) Длина высоты найдется как:

Уравнение высоты задается нормальным вектором  который должен проходить через точку . То есть вектор высоты  можно представить как, так как векторы  и со направлены!!

:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах получаем:

Откуда получаем:

4)

I. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление

Функции одной переменной

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.6. а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) .

Решение

a)Выносим за скобочки в числителе и знаменателе :

Так как  ,а  потому как все слагаемые типа  !!

б)Разложим числитель на множители воспользовавшись формулой разности кубов:

Разложим на множители и знаменатель!!

Его дискриминант  и корни:

Тогда:

И для предела получаем:

в)Умножим и разделим числитель и знаменатель на :

Воспользуемся формулой разности квадратов для знаменателя:

Теперь умножим и разделим числитель и знаменатель на  и воспользуемся формулой разности квадратов:

Тогда:

г)Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми:

Тогда:

д)Воспользуемся пределом

Так как

Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

Исследуем на разрыв точку :

Пределы слева и справа от нуля конечны но не равны, значит  точка разрыва первого рода-скачок.

Исследуем на разрыв точку :

Пределы слева и с права от 4 равны между собой и равны значению функции в этой точке, значит

точка непрерывности!!

Примерный график:

Найти производные  данных функций

3.6 а)	б) ;	в) ;
г) ;	д)

Решение

a)

б)

в)

г)

д)

.Найти  и

4.6. а) ,	б)
a)

б)

Находим :

Значит:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

,

 

Найдем и приравняем нулю:

Нашему промежутку принадлежит лишь .  Так как при ,а при значит  точка локального минимума.

Так как при функция убывает, а при  функция возрастает. Значит

И есть наименьшее значение функции на указанном промежутке!!

Наибольшее же может достигается лишь на краях промежутка

И равно

Провести полное исследование функции. Построить график функции.

.

1)Найдем промежутки возрастания и убывания функции

Откуда видно что при , а вместе с ним и . При и функция возрастает!

Так как при , то при и функция убывает. Сама же точка является локальным минимумом.

2)Найдем промежутки выпуклости и впуклости, для этого найдем :

Значит при и функция выпукла вверх , в остальном промежутке функция выпукла вниз!!

3)Точки разрыва. Функция не определена в одной точке , это точка разрыва второго рода, так как:

4) Асимптоты.

Так как

То наклонных асимптот у функции нет. И так как

То горизонтальна асимптота лишь одна y=1

Этого достаточно, что бы построить график!!

График

123Следующая ⇒