Пример выполнения статистического анализа устойчивости и точности процессов IV типа точности

Необходимо определить точность процесса, его устойчивость, точность настройки и возможный процент брака при данной настройке станка на размер.

	A	B	C	D	E	F
1	Исходные данные xi					n
2	19,81	19,82	19,82	19,85	19,83	50
3	19,83	19,84	19,85	19,84	19,84
4	19,84	19,84	19,84	19,85	19,85	19,848
5	19,85	19,87	19,80	19,86	19,87	s
6	19,86	19,88	19,88	19,87	19,89	0,01807
7	19,83	19,83	19,85	19,82	19,85
8	19,84	19,84	19,84	19,83	19,84
9	19,85	19,85	19,85	19,84	19,85
10	19,86	19,86	19,86	19,85	19,86
11	19,86	19,86	19,87	19,86	19,87

2. Проверка гипотез о случайности выборки. Эта проверка позволяет установить наличие или отсутствие функциональных погрешностей обработки, обуславливающих смещение центра рассеивания (статистики ).

При наблюдениях за размерами обрабатываемых деталей на настроенном станке, проверку гипотезы случайности выборки осуществляют методом последовательных разностей.

Проверка гипотезы случайности выборки методом последовательных разностей заключается в вычислении критерия t

                                                    (13)

и сравнения полученного значения с критическим t_q его значением.

Если , то гипотеза случайности выборки принимается, в противном случае отвергается.

В формуле (13) величина c² представляет несмещенную оценку σ² по данным выборки и определяется по выражению

,                                     (14)

в котором a_i - разность между соседними членами х_i+1 и х_i данных выборки, a_i = х_i+1 – х_i (i = 1, 2,…, n - 1).

Критическое значение t_q при n > 20 вычисляется по формуле

,

где величина t_q определяется из соотношения , в котором  является функцией Лапласа  (таблица П1 приложения);

q - принятый уровень значимости (обычно q = 5%).

Для определения значения критерия t вычислим, прежде всего, величину c². Для этого из каждого последующего значения размера детали, приведенного в таблице 2,начиная со второго, вычтем предыдущее значение размера и,таким образом, составим 49разностей, каждую из которых возведем в квадрат. Например,

₁=19,83-19,81=0,02 мм; a₂=19,84- 19,83=0,01мм и т. д.

В таблице 4 приведены результаты выполнения перечисленных операций в среде Excel (массив A14:E23). В ней же в ячейках G15 и G17 приведены результаты вычисления величины c² и критерия t по формулам (14) и (13).

Таблица 4. Результаты вычисления критерия t

Для вычисления критического значения t_q зададим уровень значимости q = 5%. По формуле   находим , которому по таблице П1 приложения значений функции Лапласа соответствует t_q =1,65, следовательно,

.

Так как  (0,85>0,77), то гипотеза «случайности» выборки верна с вероятностью α = 1-0,05 = 0,95.

3. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Проверку гипотезы нормальности распределения генеральной совокупности по взятой из нее выборке выполним по критерию l (см. тему 4).

Для определения значения критерия λ вычислим значения эмпирической  и теоретической  функций нормального закона распределения и их разности  для каждого наблюденного значения случайной величины х по формулам

; ,

в которых  и  - накопленные теоретические и эмпирические частоты.

Выполняя все вычисления в среде Excel, получим результаты вычисления ,  и , приведенные в таблице 5. Максимальная разность этих функций составляет .Следовательно, величина критерия l составит

.

Таблица 5. Результаты вычисления теоретических частот ,

накопленных частот ,  и их разности

Интервалы	Середина интервала xi	f
19,81—19,82	19,815	1	2,064	1	2,08	1,08
19,82—19,83	19,825	3	4,899	4	6,98	2,98
19,83—19,84	19,835	5	8,538	9	15,52	6,52
19,84—19,85	19,845	11	10,929	20	26,45	6,45
19,85—19,86	19,855	12	10,275	32	36,72	4,72
19,86—19,87	19,865	10	7,094	42	43,82	1,82
19,87—19,88	19,875	5	3,598	47	47,42	0,42
19,88—19,89	19,885	2	1,340	49	48,76	0,24
19,89—19,90	19,895	1	0,367	50	49,12	0,88
		50	49,103

По таблице П6 приложения этому значению l соответствует . Эта вероятность больше 0,05. Поэтому нашу нулевую гипотезу считаем верной.

Поскольку гипотезы нормальности и случайности выборки являются верными, то процесс обработки роликов можно считать устойчивым во времени, и он может быть отнесен к IV типу точности.

4. Определение погрешности обработки. Суммарная погрешность обработки для процесса IV типа точности равна

.

Для вычисления Δ_с определим оценку σ для среднего квадратического отклонения σ₀ генеральной совокупности:

σ = z₂s = 1,246·0,018 = 0,0224мм,

где значение z₂ взято из таблицы П5 приложения. Следовательно, случайная погрешность составит

Δ_с = 6σ = 6·0,0224 =0,1344мм.

Постоянные погрешности равны

мм,

где координата  среднего арифметического значения  составляет

мм.

Так как мм, а мм, т.е. , то процесс не обеспечивает требуемую точность.

5. Выявление причин погрешности обработки. На рисунке 3 показано графическое представление фактического рассеивания размеров деталей в поле допуска. На рисунке приведены:

· -координата середины поля допуска, которая равна

мм;

· -координата  среднего арифметического значения ;

· -фактическое смещение центра рассеивания относительно

мм;

Вместе с тем, допускаемое смещение центра рассеивания (допуск на настройку) равно

Рисунок. 3. Кривая распределения размеров роликов

Так как , то возможен брак в партии деталей, процент которых может составить

Как следует из рисунка 3, основной причиной погрешности обработки в рассматриваемом примере служит неправильная настройка станка. За счет изменения настройки станка можно снизить постоянную погрешность Δ_п.

Во избежание появления брака необходимо изменить настройку так, чтобы мм или, приняв допуск на настройку мм, т. е. положив мм, необходимо стремиться получить при настройке координату  среднего арифметического значения  равную

мм

или необходимо, чтобы

мм.

Если в результате статистического анализа установлено, что сумма случайных погрешностей Δ_с равна допуску 2δ на размер или близка к нему, то необходимо выяснить доминирующую причину возникновения случайных погрешностей.

При токарной обработке случайные погрешности можно разделить на два вида: на погрешности Δ_y, зависящие от жесткости системы СПИЗ, и на погрешности Δ_з, которые возникают главным образом от наличия зазоров в отдельных частях станка. Под влиянием колеблющейся силы резания и вибраций эти зазоры выбираются в процессе обработки неравномерно как по величине, так и направлению, вызывая колебания размеров у обрабатываемых деталей.

Суммарную величину случайных погрешностей Δ_с можно, таким образом, представить в виде двух слагаемых:

.

Величину , можно определить по формуле

,

где ; W - податливость системы, определяемая производственным методом; K_у и K_з - коэффициенты относительного рассеивания, которые можно принять равными K_у = K_з = 1,2. Зная величину , можно определить  по формуле

.

Величина  будет характеризовать жесткость станка, величина  - его точность. Если  > , то причиной недостаточной точности обработки является плохое состояние станка, если  > , то причиной является малая жесткость станка.