Логико-дидактический анализ темы «Применение производной к исследованию функций».

Логико-дидактический анализ темы

«Применение производной к исследованию функций»

По учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др.»

Выполнили: студентки группы М-5-В

 Соколова Ольга Сергеевна

Место прохождения практики: МОУ СОШ №3

Руководитель: Шехмаметьева Галина Евгеньевна

Дата прохождения практики:22.10.12 – 06.01.13

Самара 2012.

Логико-дидактический анализ темы «Применение производной к исследованию функций».

I. Цель изучения темы: дать систематические знания о применении производной к исследованию функции.

Цель реализуется в следующих учебных задачах:

Ø демонстрация возможностей производной в исследовании свойств функций и построении их графиков и применение производной к решению прикладных задач на оптимизацию;

Ø отработка определения понятия производной;

Ø раскрытие методики решения задач основных типов;

Ø отработка умений применять теорию при решении задач;

Ø определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

Ø строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;

Ø описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

Ø исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

Ø решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

Ø решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

Новыми математическими фактами в этой теме будут:

1. Понятие возрастания и убывания функции (без доказательства).

2. Теорема Лагранжа (теорема 1).

3. Теорема о достаточном условии возрастания функции (теорема 2).

4. Понятие окрестности точки.

5. Понятие минимума/максимума функции.

6. Теорема Ферма (теорема 3).

7. Понятие стационарной точки.

8. Понятие критической точки.

9. Теорема о перемене знака производной, при переходе через стационарную точку (теорема 4).

10. Построение графика функции.

11. Нахождение наибольшего и наименьшего значения.

12. Понятие производной второго порядка.

13. Выпуклость функции.

14. Точки перегиба.

1. Понятие возрастания и убывания функции.

Если f’(x) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если f’(x) < 0 на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

Объемом понятия являются все функции.

Структура определенияконъюнктивная.

Способ определениячерез ближайший род и видовые отличия.

2. Теорема 1 (Теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Условие теоремы: функция непрерывна и дифференцируема.

Заключение теоремы: существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Теорема сформулирована в условной форме.

Структура теоремы сложная, т.к. в условии две посылки:

1) функция непрерывна на отрезке;

2) функция дифференцируема внутри него.

Логическая связь между посылками конъюнктивная.

3. Теорема 2 (Теорема о достаточном условии возрастания функции). Если функция y = f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и ее производная положительна на этом отрезке, f ' (x) ≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на [a,b].

Условие теоремы: функция непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри него и производная положительна.

Заключение теоремы: функция  возрастает на отрезке.

Теорема сформулирована в условной форме.

Структура теоремы сложная, т.к. в условии три посылки:

1) функция непрерывна на отрезке;

2) функция дифференцируема внутри него;

3) производная положительна.

Логическая связь между посылками конъюнктивная.

4. Понятие окрестности точки. Множество, содержащее данную точку, и близкие к ней.

5. Понятие минимума/максимума функции.

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство  f(x) < f(x0).	x0 = 0 - max
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство  f(x) > f(x0).	x0 = 2 - min

Объемом понятия являются все точки.

Структура определенияконъюнктивная.

Способ определениячерез ближайший род и видовые отличия.

6. Теорема 3 (Теорема Ферма). Пусть функцияf(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и в некоторой точкеx₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогдаf'(x₀) = 0.

7. Понятие стационарной точки. Точки, в которых производная функции равна нулю.

Объемом понятия являются все точки.

Структура определениядизъюнктивная.

Способ определениячерез ближайший род и видовые отличия.

8. Понятие критической точки. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема.

Объемом понятия являются все точки.

Структура определениядизъюнктивная.

Способ определениячерез ближайший род и видовые отличия.

9. Теорема 4 (Теорема о перемене знака производной, при переходе через стационарную точку). Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), x₀ Î (a, b), и f’(x) = 0. Тогда:

а) если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f’(x) > 0 слева от точки x0 и f’(x) < 0 справа от точки x0, то x0 – точка максимума функции f(x)
б) если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то x0 –точка минимума функции f(x)

Условие теоремы: функция дифференцируема на интервале, некоторая точка принадлежит этому интервалу, и производная в этой точке равна нулю и при переходе через стационарную точку меняет знак.

Заключение теоремы: стационарная точка – точка максимума/минимума функции.

Теорема сформулирована в условной форме.

Структура теоремы сложная, т.к. в условии три посылки:

1) функция дифференцируема на интервале;

2) некоторая точка принадлежит этому интервалу;

3) производная в этой точке равна нулю и, при переходе через стационарную, меняет знак.

Логическая связь между посылками конъюнктивная.

10.  Построение графика функции.

Задача. Построить график функции f(x) = x³ – 2x² + x.

Условие задачи: дана функция.

Заключение: построить график этой функции с помощью производной.

Задача на вычисление. Метод решения: алгоритмизация.

Решение этой задачи показывает нам, как при помощи свойств производной функции построить график.

Эта функция определена при всех x Î R. С помощью производной найдем промежутки монотонности этой функции и ее точки экстремума. Производная равна f ’(x) = 3x² – 4x +1. Найдем стационарные точки: 3x² – 4x +1= 0, откуда  

Для определения знака производной разложим квадратный трехчлен 3x² – 4x +1 на множители: f '(x) = 3 (x - ) (x – 1 ).

Производная положительна на промежутках x <  и x > 1, следовательно, на этих промежутках функция возрастает.

При  < x < 1 производная отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает. Точка является точкой максимума, так как слева от этой точки функция возрастает, а справа убывает. Значение функции в этой точке равно

Точка  является точкой минимума, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; её значение в точке минимума равняется .

Результаты исследования представим в следующей таблице:

x	x <		< x < 1	1	x > 1
f '(x)	+	0	-	0	+
f (x)	↑		↓	0	↑

 

Знак «↑» означает, что функция возрастает, а знак «↓» означает, что функция убывает.

При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(x) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

 x³ – 2x² + x = 0, x(x² – 2x + 1) = 0, x(x - 1)² = 0,откуда x = 0, x = 1. Для более точного построения графика найдем значения функции еще в двух точках:

Используя результаты исследования, строим график функции y = x³ – 2x² + x.

 

11. Нахождение наибольшего и наименьшего значения.

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [  ].

Условие задачи: дана функция.

Заключение: найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [  ].

Задача на вычисление. Метод решения: алгоритмизация.

Решение этой задачи показывает нам алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

12. Понятие производной второго порядка. Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом, f"(x) = (f'(x))'.

Объемом понятия является функция.

Структура определениядизъюнктивная.

Способ определениячерез ближайший род и видовые отличия.

13. Понятие «выпуклость функции». Функция y = f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), называется выпуклой вверх на этом интервале, если её производная f ' (x) убывает на (a, b). Аналогично функция f(x)называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если f ' (x) возрастает на этом интервале, и поэтому f"(x) > 0.

Объемом понятия является функция.

Структура определенияконъюнктивная.

Способ определениячерез ближайший род и видовые отличия.

14. Понятие «точки перегиба». Точка x₀ дифференцируемой функции f(x) называется точкой перегиба этой функции, если x₀ является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз для f(x).