Расчёт треугольной фермы на врубках

Задание на проектирование.

Спроектировать и рассчитать ферму из бруса пролетом L= 9,5 м для покрытия производственного не отапливаемого здания и колонну h = 4 м. Шаг расстановки ферм a=2 м. Длина здания 48 м.

Расчет настила

Запроектировать двойной дощатый настил под холодную рулонную кровлю. Щиты настила шириной 1 м, длиной 1,4 м, опираются на прогоны, установленные с шагом I= 0,8 м. Район строительства по снеговой нагрузке II. Уклон кровли 0,34. Температурно – влажностные условия эксплуатации Б1.

Защитный настил принимаем без расчета издосок сечением, bxɓ = 100х16 мм, расположенных к доскам рабочего настила. Нижний рабочий настил назначаем из досок сечением 150х25 мм ( ɓ = 0,025 м). Для проветривания делаем его разряженным с зазором ∆=100 мм.

Проведем сбор нагрузок на 1 кв. м горизонтальной поверхности настила.

Табл 1.

Нагрузка	Нормативная          нагрузка, кН/м2	Коэф-т надежности по нагрузке	Расчетная нагрузка , кН/м2
Постоянная Трехслойная рулонная кровля	0,09	1,3	0,117
Защитный настил 0,016*6,5	0,104	1,1	0,1144
Рабочий настил 6,5*0,025*0,15/0,15+0,1	0,0975	1,1	0,10725
итого	gн=0,2915		g=0,33865
Временная Снеговая нагрузка	0,84	0,7	1,2
Итого временная	0,84		1,2
Полная	gн+pн= 1,13		g+p = 1,5

Настил рассчитываем как двухпролетную балку на два сочетания нагрузок:

1. Собственный вес g и снег p – на прочность и прогиб (рис. 1.а);

2. Собственный вес g и сосредоточенная нагрузка Р – только на прочность (рис. 1,б). нормативное значение Р = 1кН.

Для скатных кровель расчет ведется только на нормальную составляющую нагрузки g_х^н= (g^н + р cosα) cosα, где α – угол наклона кровли к горизонту. При этом учитывается что собственный вес кровли, а снеговая нагрузка по ее горизонтальной проекции.

Расчет настила ведем для полосы шириной bрас=1,0 м.

Максимально изгибающий момент при первом сочетании нагрузок:

М1= g*l² /8= 1,5*0,8² /8= 0,12 кН*м, где

g=1,5* bрас=1,5 кН*м

Момент сопротивления настила :

W= b*ɓ²/6* bрас/ b+∆= 0,15*0,025²/6 * 1 / 0,15+0,1 = 0,625* 10^-4 м³.

Здесь в расчет берем только доски рабочего настила, bрас/ b+∆ - число досок, укладываемых на ширине настила 1 м.

Напряжения при изгибе :

1= М1 / W = 0,12 * 10^-3 /0,625 *10^-4= 1,92 Мпа < R_н = 13 Мпа.

Согласно п. 3.1 прим. 5 СНиП II-25-80 расчётное сопротивление для древесины 3 сорта, используемой для настилов, принимаем равным R_н = 13 Мпа.

Момент инерции настила: 

J = W * h / 2 = 0.625 * 10^-4 * 0.025 / 2 = 0.78 * 10 ^-6 м⁴

Прогиб:

 ƒ = 2,13 / 384 * ql⁴/ E J = 2.13*1.13 * 10^-3 * 0.8⁴ / 384* 10⁴ * 0.78*10^-6= 0.00003 м.

ƒ / l = 0.00003/ 0.8 = 0.0005 / 0.004

[ ƒ / l] _пр = 1/250

Расчет прогонов

Запроектировать прогоны под холодную кровлю, устраиваемую по щитам дощатого настила. Шаг прогонов 0,8.

Уклон кровли i= 0,34. Шаг несущих конструкций 2 м.

Принимаем многопролетные неразрезные спаренные прогоны из двух досок на ребро сечением 60 х 175 мм. По длине доски скрепляем гвоздями в шахматном порядке через 500 мм.

Стыки досок устраиваем на расстоянии 0,21 l от опор. Крайний пролет прогонов уменьшаем до 0,79 l.

Расчетная схема прогона – многопролетная статически неопределимая балка. Нагрузка от покрытия см табл 1.

g_н = 0.2915 * 0.8= 0.2332 кН/ м;

g = 0.33865 *0.8 = 0.27 кН/ м;

Снеговая нагрузка: 

р^н = 0,84 * 0,8 = 0,672 кН/ м;

р=1,2 * 0,8 = 0,96 кН/ м;

Нагрузка от собственного веса прогона:

g^н_с.в.=2 * 0.06  * 0.175 * 6.5 = 0.14 кН/ м; g_с.в. = 0,14*1,1=0,15 кН/ м;

Спаренные прогоны не могут работать на косой изгиб. Скатная составляющая воспринимается настилом и передается на коньковые прогоны. Нормальная составляющая нагрузки:

 q^н_х = (0.2332+0.14+0.672*0.995)*0.995=1.04 кН/ м;

q_х = (0.27+0.15+0.96*0.995)*0.995=1,4 кН/ м;

Изгибающий момент определяется по формуле:

М_max = g*l² / 12 = 1,4 * 2² /12 = 0,5 кН/ м = 0,5 *10^-3 MH/м;

Нормальные напряжения:

_max = М_max / W = 0,5*10^-3 / 6.125*10^-4 = 1 Мпа < R_н = 13 Мпа, где

W= b*h²/6= 0.12*0.175² /6 = 6.125*10^-4 м³;

Прогиб прогона определяется по формуле :

Ƒ = 1 / 384 * q^н_х * I² / E* J = 1.04*10^-3*2⁴/ 384* 10⁴ *5.36*10^-4 =

0.00008 м, где J = b*h³/12 = 0.12 * 0.175 ³ / 12 = 5.36 * 10 ^-5 м.

ƒ / l = 0,00008 / 2 = 0,00004 < [ ƒ / l] _пр = 1/220 ;

В стыке досок прогона ставим гвозди диаметром 5 мм, I = 150 мм в два ряда с каждой стороны стыка.

S₁ = 15* d = 15 * 0.5 = 7.5; a = c = 6 cм;

a₁ = a – 1.5* d = 6- 1.5 0.5 = 5.25;

Расчетная несущая способность одного гвоздя: 

T_c= 0.35 * c* d = 0.35* 6*0.5 = 1.05 кН;

T_a = K_H * a *d = 0.37 *5.25 *0.5 = 0.97 кН;

T_H = 2.5 * d² + 0.01a₁² 2.5* 0.5² + 0.01* 5.25 ² = 0.9 кН;

Где K_H  = 0,37 по табл. 18 при a₁ / c = 0.875 м.

Количество гвоздей по формуле:

N_гв = M _он / ( 2 Х _гв * T _мин) = 6.95/ (2 * 0.833*0.9) = 4.63 = 6 шт.,

Где Х_гв = 0,21 * I – (0.5 * S₁ = 0.21*4.5- 1.5*0.075= 0.833 м.

Расчёт треугольной фермы на врубках

   Спроектировать и расчитать ферму пролётом l = 9,5 м для покрытия производственного не отапливаемого здания. Кровля рубероидная трёхслойная. Щиты настила шириной 1 м, длиной 1,4 м. Многопролетные неразрезные спаренные прогоны из двух досок на ребро сечением 60 х 175 мм. Материал фермы сосновые брусья влажностью не более 20%. Шаг расстановки ферм В=2м. Класс ответственности здания II, γ_n = 0,95

Рис 3. Конструктивная схема

   Принимаем треугольную четырёхпанельную ферму со сжатыми расскосами, высота фермы h = 1,5 Уклон кровли:

tgα = h/0,5L = 1,5/0,5×9 = 6,75 α = 18°

sinα = 0,3 cosα = 0,95

   Длинна раскоса l₃ – 10 = 2506 мм

   Длинна панели верхнего пояса l₁ = 5012 мм.

Подсчёт нагрузок на 1м² плана здания

Собственный вес фермы определяем: при К_св = 4

g_св^н = g_пл^н + S₀/(1000/4×9 - 1) = 0,2915 + 0,84/(1000/4×9,5 - 1) = 0,29

   Полное значение снеговой нагрузки на горизонтальную проекцию покрытия определяется

S = S_g×μ,

   Где S_g – расчётное значение веса снегового покрова на 1м² горизонтальной поверхности земли.

μ – коэффициент перехода от веса снегового покрова земли к снеговой нагрузке на покрытие.

   Для треугольных ферм снеговые нагрузки расчитываются по трём вариантам, включая нагрузку, равномерно распределённую по всему пролёту, ступенчатую, действующую по всему пролёту и на половине пролёта

Рис 4.Сочетание нагрузок на ферму

   При уклоне кровли α = 19°< 25°, μ = 1

   Полные значения снеговой нагрузки на горизонтальную проекцию покрытия для снегового района составляет:

   S₁ = S_g×μ = 1,2 MПа

   S₂ = S_g×1,25 ×μ = 1,5 MПа

   S₃ = S_g×0,75 ×μ = 0,9 MПа

   Нормативное значение снеговой нагрузки S₀ определяется умножением расчётного значения на коэффициент 0,7

   Для определения собственного веса фермы нормативное значение снеговой нагрузки S₀ принимаем как усреднённое значение расчётного значения снеговой нагрузки, распределённой ступенчато по всему пролёту, тогда:

S₀ = (S₂ + S₃)×0,7/2 = (1,5 + 0,9)×0,7/2 = 0,84 МПа;

   Расчётные нагрузки на 1м² фермы:

- от постоянной нагрузки

g_n = q × B = 0,715 × 2 = 1,43 кН/м

- от временной снеговой равномерно распределённой по всему пролёту

S_1n=S₁×B =  1,2× 2 = 2,4 кН/м

- от временной снеговой распределённой ступенчато на половине пролёта и на всём пролёте

S_2n = S₂×B = 1,5× 2 =  3 кН/м

S_3n = S₃×B = 0,9 × 2 = 1,8 кН/м

Расчёт элементов фермы

     ВЕРХНИЙ ПОЯС фермы работает как сжато изгибаемый элемент, воспринимающий постоянную и временную снеговую нагрузку. Расчётные усилия в приопорной панели N_max  = 1,6кНм; N_1-2 = 19.2 кН.

N_max = ( q _рас + 0,5g_св^н × В) × (l / 4)² /8 = (2,52 + 0,5*0,29 × 2) × (9,5 / 4)² /8 = 1,6 кНм;

     Для уменьшения изгибающего момента в панели фермы создаётся внецентренное приложение нормальной силы, в результате чего в верхнем поясе возникает разгружающий момент M_l = N × l

     Принимаем эксцентриситет приложения нормальной силы во всех узлах верхнего пояса.

     Оптимальную велечину эксцентриситета находим из условия равенства напряжений в сечении элемента по середине и по краям панели

е = N_max/ N_1-2(ξ+1) = 1,6/19,2(0,5+1)=  0,056

Где коэффициент ξ = 0,5 (принимается ориентировочно).

     Тогда разгружающий момент составит:

M_e = N×e = -19,2×0,056 = -1,07 кНм

     Принимаем сечение верхнего пояса из бруса шириной b = 150 мм.

     Определяем требуемые минимальные торцовых площадок смятия в узлах фермы:

     - в опорных и коньковых узлах (смятие древесины происходит под α = 19 ⁰ к направлению волокон)

R_см,α = R_см/(1+(R_см/R_см,90 - 1)sin³α) = 15/(1+(15/3 - 1)0,3³) = 13,54 МПа

h_см = N_AF×γ_n/b×R_см,α = 18.2×10^-3×0,95/0,15×13.54= ×10^-3= 0.85см

     - в промежуточном узле (смятие древесины вдоль волокон)

h_см = N_AC×γ_n/ b×R_см = 19.2×10^-3×0,95/0,15×15 = 8.1×10^-3=0.81см.

     Тогда требуемая высота бруса верхнего пояса фермы:

h_тр = h_см + 2е = 0.81 + 2×5.6 =  12см

     Принимаем h = 15 см

     r = 0,289×h = 2,89×15 = 43.35 см

Рис 5.Сечение бруса

Проверяем принятое сечение

     Геометрические характеристики:

F_рас = F_пт = F_бр = 15×15 = 225 см²

     Момент сопротивления:

W_расч = b×h²/6 = 15×15²/6 = 563см³= 0.563×10^-3 м.

     Гибкость элемента в плоскости фермы:

λ= l_1-3/r = 250.6/43.35 = 57.8<70

     Коэффициент продольного изгиба:

ϕ = 1-0,8(х/100)² = 1 – 0,8(57.8/100) = 0,54

     Расчётный изгибающий момент:

M = M_g + M_e = 1.82 – 1.07 = 0.75 кНм

ξ = 1 – N_BE/ϕ×R_с×F_бр = 1 – 41,24×10^-3/0,76×14,74×30×10^-3 =0,877

где R_с = 15/γ_n = 15/0,95 = 15.7МПа

     Максимальные нормальные напряжения:

     -в середине пролёта:

σ_c = N_DE/F_расч + M/ξW_расч = 17.75×10^-3/30×10^-3+0.75×10^-3/ ×0.563×10^-3 = МПа

<R_c = 15.7МПа

     - по краям панели:

σ_c = N_AC/F_расч + M_с/ξW_расч = 19.2×10^-3/30×10^-3+0.76×10^-3/×0.563×10^-3 = МПа<R_c = 14,74МПа

     НИЖНИЙ ПОЯС. Расчётное усилие в нижнем поясе N_AF= 18.2кН. Нижний пояс фермы принимают из брусков b = 150мм, h = 150мм.

Рис 6. Сечение бруса

     Во избежание большого провисания нижнего пояса фермы устраиваем дополнительную подвеску из круглой стали d = 8мм, крепящеюся в 3 и 7 узлах верхнего пояса.

     В этом случае пролёт нижнего пояса равен:

l₀>l/4>9.5/4= 2.375 м.

σ= N/F_расч≤R_c ×m₀

σ= 18.2×10^-3/30×10^-3=0.6МПа≤7 ×0,8 = 5,6МПа

     РАСКОС. Расчётное усилие в раскосе N_FE= 18.36кН. Сечение раскоса принимаем из бруса b = 150мм, h = 125мм.

     Площадь сечения раскоса:

F_рас = 0,15×0,125= 0,019×10^-3

     Гибкость раскоса:

λ = l_FE/0,289×0,125 = 2,37/0,289×0,125 = 65,83<70

     Коэффициент продольного изгиба

ϕ = 1-0,8(λ/100)² = 1 – 0,8(65,83/100) = 0,47

     Напряжение в сжатом раскосе с учётом устойчивости:

σ_c = N_AF/ϕ×F_расч=18.2×10^-3 /0,47×19×10^-3 = 2 МПа<R_c = 15.7МПа

     ПОДВЕСКА. Усилие в подвеске N_DF= 4.96кН. Принимаем подвеску из круглой стали. Требуемая площадь которой:

F_тр = N_DF/R_bt×γ_c = 4.96×10^-3/175×0,9 =0,31×10^-3м² = 3.1см²,

где R_bt – расчётное сопротивление тяжа растяжению

  γ_c – 0,9 СНиП «Стальные конструкции» стр 8, табл 6

     Требуемый диаметр тяжа

d_тр = √4× F_тр/ m₀×π = √4× 3.1/ 0,8×3,14 =2,22 см.

где m₀ = 0,8 – коэффициент учитывающий ослабление сечения резьбой, согласно п 3.4. [4].

     Принимаем диаметр d = 22мм [2] стр 146.