Элементы квантовой механики и ядерной физики

Закон Стефана-Больцмана:

                                                    ,

где – интегральная лучеиспускательная способность абсолютно черного тела (его энергетическая светимость, т.е. энергия, излучаемая в единицу времени единицей поверхности абсолютно черного тела), – абсолютная температура тела, – постоянная Стефана-Больцмана .

Если излучаемое тело не является абсолютно черным, то

                                                  ,

где коэффициент  всегда меньше единицы.

Закон смещения Вина:

                                                     ,

где – длина волны, на которую приходится максимум излучения тела,      – постоянная Вина .

Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры (второй закон Вина):

                                               ,

где коэффициент .

Поток излучения абсолютно черного тела:

                                                    ,

где – площадь излучаемой поверхности.

Энергия фотона:

                                         или ,

где – частота фотона, – циклическая частота,  и  – постоянная Планка .

Масса фотона:

                                                     ,

где – скорость света в вакууме.

Импульс фотона:

                                                     .

Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

                             , если кэВ,

                                     , если кэВ,

где – работа выхода электрона из металла, – максимальная скорость фотоэлектрона, – масса покоя электрона, – кинетическая энергия электрона.

                                       .

Красная граница фотоэффекта:

                                                     ,

где – максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект.

Световое давление:

                                                 ,

где – интенсивность света (энергетическая освещенность),                         – коэффициент отражения преграды, на которую падает свет.

Формула Комптона:

                                 или

                                       ,

где – длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабо связанным электроном, – длина волны фотона, рассеянного на угол  после столкновения с электроном, – масса покоящегося электрона.

Длина волны де Бройля:

                                                 ,

где – длина волны, связанная с частицей, обладающей импульсом ,         – скорость частицы, – масса движущейся частицы,      – масса покоящейся частицы.

    Если , то .

Соотношения неопределенностей Гейзенберга:

а) для координаты и импульса:

                                                   ,

б) для энергии и времени:

                                                   ,

где – неопределенность проекции импульса на ось ,                              – неопределенность координаты , – неопределенность энергии,     – неопределенность времени.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от  до

                                               ,

где – волновая функция частицы, – плотность вероятности.

Волновая функция частицы, находящейся в одномерном прямоугольном потенциальном ящике, шириной

                                           .

Законы радиоактивного распада:

                                    – распад,

                                    – распад,

где – исходное радиоактивное ядро, – зарядовое и массовое числа,  и – ядра, образовавшиеся в процессе  и - распада.

Основной закон радиоактивного распада:

                                                  ,

где – число нераспавшихся ядер в начальный  момент времени,     – число нераспавшихся ядер в момент времени , – основание натуральных логарифмов, – постоянная радиоактивного распада.

Период полураспада:

                                                    .

Среднее время жизни радиоактивного ядра:

                                                      .

Активность радиоактивного препарата:

                                  ,

где – активность препарата в начальный момент времени .

Законы, выполняющиеся при ядерных реакциях:

а) закон сохранения числа нуклонов:

                                        ,

б) закон сохранения заряда:

                                        ,

где  и – соответственно массовые и зарядовые числа ядер.

Дефект массы ядра:

                                    ,

где – заряд ядра (число протонов в ядре), – массовое число ядра (число нуклонов в ядре), – число нейтронов в ядре, – масса протона,      – масса нейтрона, – масса ядра.

Энергия связи ядра:

                                                  ,

где – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра МэВ.

Здесь  – дефект массы ядра, выраженный в а.е.м. (1 а.е.м. ~ 931 МэВ).

Примеры решения задач

Задача 1. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления ( = 1,26) меньшим, чем у стекла. При какой наименьшей толщине пленки отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего света 0,55 мкм, угол падения 30⁰.

Дано: = 0,55 мкм = 5,5∙10-7 м = 300 = 1,26	Рис. 7
Найти:

Решение

Лучи 1 и 2 отражаются от среды с большим показателем преломления (рис. 7), поэтому как на верхней, так и на нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны, и следовательно, оптическая разность хода лучей равна:

                                             .

Отражения света от линзы не будет, если выполнится условие минимума освещенности при интерференции лучей 1 и 2 (условие минимума интерференции света):

                   или ,

где k = 0, 1, 2, … .

Толщина пленки будет минимальна при = 0. Отсюда

                                .

Подставляя числовые данные, найдем минимальную толщину пленки:

                   м = 0,117 мкм.

Ответ: = 0,117 мкм.

Задача 2. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65 мкм. На экране, расположенном параллельно решетке и отстоящем от нее на расстоянии 0,5 м, наблюдается дифракционная картина. Расстояние между дифракционными максимумами первого порядка равно 10 см. Определить постоянную дифракционной решетки и общее число максимумов, получаемых с помощью этой решетки.

Дано: = 0,65 мкм = 6,5∙10-7 м = 0,5 м = 0,1 м =1	Рис. 8
Найти: ,

    Решение

Картина распределения интенсивности света на экране при дифракции на решетке показана на рис. 8. Условие максимума интенсивности света на дифракционной решетке:

                                                  ,                                             (1)

где – постоянная (период) решетки, – угол дифракции, – длина волны падающего света = 0, 1, 2, … – порядок максимума.

По условию задачи , поэтому

                                              .                                          (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

                                   или .                               (3)

Вычислим постоянную решетки при = 1:

                          м = 6,5 мкм.

Для определения общего количества максимумов, получаемых с помощью дифракционной решетки, найдем максимальный порядок дифракции. Максимальный угол отклонения лучей от нормального направления распространения не может превышать 90⁰, т.е. формула (1) примет вид:

                                    , откуда ,                               (4)

тогда

                                           .

Общее количество максимумов равно: , так как слева и справа от центрального ( = 0) будут наблюдаться по  максимумов. Окончательно:

                                              .

Ответ: = 6,5 мкм; = 21.

Задача 3. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшилась в четыре раза? Поглощением света пренебречь.

Дано:
Найти:

Решение

При прохождении через поляризатор интенсивность естественного света уменьшается вдвое:

                                                    ,

где – интенсивность естественного света, – интенсивность света, прошедшего через поляризатор.

При прохождении света через анализатор интенсивность света уменьшается по закону Малюса:

                                                 ,

где – интенсивность света, вышедшего из анализатора, – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора.

По условию задачи , следовательно:

                                        ,

отсюда

                              и .

Ответ: .

Задача 4. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость поверхности тела.

Дано: = 0,58 мкм = 5,8∙10-7 м
Найти:

Решение

Энергетическая светимость абсолютно черного тела:

                                                    ,

где – абсолютная температура тела, – постоянная Стефана-Больцмана .

Температуру  можно связать с длиной волны  законом Вина:

                                       , откуда ,

где – постоянная Вина . Следовательно:

                                                 .

Подставив числовые данные, получим:

            (Вт/м²) = 35,4 МВт/м².

Ответ: = 35,4 МВт/м².

Задача 5. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол (рис. 9). Энергия рассеянного фотона . Определить энергию фотона  до рассеяния.

Дано: =0,4 МэВ	Рис. 9
Найти:

Решение

Изменение длины волны фотона, рассеянного на свободном электроне, определяется формулой Комптона:

                                       ,                                   (1)

где – длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабо связанным электроном, – длина волны фотона, рассеянного на угол  после столкновения с электроном, – масса покоящегося электрона.

Учитывая, что  и , выразим длины волн  и  через энергии  и  фотонов:

                   , или .              (2)

Из (2) следует, что

                    или .                (3)

Выразим из полученной формулы искомую величину:

                                          .                                      (4)

Подставим числовые данные, учитывая при этом, что 1 МэВ = 10⁶ эВ = 1,6·10^-19·10⁶ Дж = 1,6·10^-13 Дж:

 (Дж) = 1,85 МэВ.

Ответ: = 1,85 МэВ.

Задача 6. При соударении - частицы с ядром  произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический баланс.

Решение

Обозначим неизвестное ядро символом . Так как - частица представляет собой ядро гелия , то запись реакции имеет вид:

                                          .

Применяя законы сохранения числа нуклонов и заряда, получим уравнения:

                                .

Отсюда  и . Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода . Теперь можно записать ядерную реакцию в окончательном виде:

                                          .

Энергетический баланс ядерной реакции определим по формуле

                                 .

Здесь  – сумма масс исходных данных ядер,  – сумма масс продуктов реакции.

При расчетах по этой формуле массы ядер можно заменить массами нейтральных атомов. Это возможно по следующей причине: число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу . Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода. Таким образом, при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут. Получим тот же результат, как если бы брали массы только ядер. Подставим массы атомов в формулу для  и получим:

 МэВ.

Получили , следовательно, энергетический баланс указанной ядерной реакции положителен, т.е. реакция проходит с выделением тепла.