Примеры решения задач по теме №2

Пример 2.1.Двухатомный газ, находящийся под давлением 0,1 МПа в сосуде объемом 0,5 м³, нагревают от 30 до 130⁰С. Определить количество теплоты, необходимое для изохорического нагревания газа.

Дано:     P₁=0,1 МПа=0,1∙10⁶ Па,

V=0,5 м³,

Т₁=30 ⁰С=303 К,

Т₂=130 ⁰С=403 К,

i=5.

Найти: Q.

Решение

Количество теплоты, необходимое для нагревания можно найти по формуле:

.                   (2.1.1)

Здесь с_V – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Молярная С_V и удельная с_V теплоемкости связаны соотношением:

.                                          (2.1.2)

Молярная теплоемкость при постоянном объеме:

,                                           (2.1.3)

где i – число степеней свободы.

Из (2.1.2) и (2.1.3) следует, что

.                                               (2.1.4)

Молярную массу газа найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона, характеризующего начальное состояние газа:

,                                      (2.1.5)

.                                      (2.1.6)

Подставим (2.1.6) в (2.1.4), а затем полученное выражение подставим в (2.1.1):

,                                     (2.1.7)

,                          (2.1.8)

.                             (2.1.9)

Проверим размерность:      

.

Подставим в (2.1.9) числовые данные и получим значение Q:

.

Ответ: количество теплоты Q=41кДж.

Пример 2.2. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 ⁰С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?

Дано:     m = 200 г = 0,2 кг,

Т₁ = 0 ⁰С = 273 К,

Т₂ = 100 ⁰С = 373 К,

μ=2∙10^-3 кг/моль.

Найти: Q, ΔU, A.

Решение

Запишем первое начало термодинамики:

.                                          (2.2.1)

Здесь Q – количество теплоты, сообщенное водороду; ΔU – изменение внутренней энергии водорода; А – работа, совершенная водородом против внешних сил.

Изменение внутренней энергии газа определяется как

.                                       (2.2.2)

Учитывая, что количество вещества  и что водород является двухатомным газом, т.е. i = 5, перепишем (2.2.2):

.                                           (2.2.3)

Подставим в (2.2.3) числовые данные:

Работа, совершаемая водородом:

.       (2.2.4)

Изменение объема ΔV найдем, записав уравнения Менделеева-Клапейрона, характеризующие начальное и конечное состояния газа:

,                                          (2.2.5)

.                                         (2.2.6)

Вычтем из (2.2.6) (2.2.5):

.                                 (2.2.7)

Подставив (2.2.7) в (2.2.4), получим выражение для работы:

.                                    (2.2.8)

Рассчитаем работу:

.

Подставим числовые данные в (2.2.1) и рассчитаем значение количества теплоты:

.

Ответ: Q=291 кДж, ΔU=208 кДж, A=83 кДж.

Пример 2.3. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении 6,6 г водорода от объема V₁ до объема V₂=2V₁.

Дано: m = 6,6 г = 6,6∙10^-3 кг,

V₂ =2V₁,

P = const,

μ=2∙10^-3 кг/моль.

Найти: ΔS.

Решение

При переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 изменение энтропии:

,                                                (2.3.1)

где 1 и 2 – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям газа; Q – количество теплоты, сообщенное газу.

Согласно первому началу термодинамики:

,                                             (2.3.2)

где dU – изменение внутренней энергии газа; dА – работа, совершенная газом против внешних сил.

Изменение внутренней энергии газа:

.                                            (2.3.3)

Водород – двухатомный газ, следовательно, i=5.

Работа, совершаемая при изменении объема V газа:

.                                             (2.3.4)

Т.о.:

.                                         (2.3.5)

Давление, под которым находится газ и изменение температуры, найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона:

,                                (2.3.6)

.                                           (2.3.7)

Подставим (2.3.6) и (2.3.7) в (2.3.5):

.      (2.3.8)

Полученное выражение подставим в (2.3.1):

.

Подставим числовые данные:

.

Ответ: изменение энтропии ΔS=66,5Дж/К.

Пример 2.4. На пластинах плоского конденсатора находится заряд 10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна 100 см², диэлектрик – воздух. Определить силу, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Дано: Q = 10 нКл = 10∙10^-9 Кл,

S = 100 см² = 100 ∙10^-4 м²,

ε = 1.

Найти: F.

Решение

Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью E₁, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила:

.                                         (2.4.1)

Так как:

,                                   (2.4.2)

где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (2.4.1) с учетом выражения (2.4.2) примет вид:

.                                     (2.4.3)

Подставив числовые данные в (2.4.3), получим:

.

Ответ: Сила, с которой притягиваются пластины F=565мкН.

Пример 2.5. На схеме, представленной на рис.1, R₁ = R, R₂ = 2R, R₃ = 3R, R₄ = 4R. Емкость конденсатора равна C. Определить заряд на конденсаторе, если напряжение на батарее U₀.

Рис. 3.

Дано: R₁ = R,

R₂ = 2R,

R₄ = 4R,

С,

U₀.

Найти:  Q.

Решение

В данной схеме напряжение на конденсаторе будет определяться суммой напряжений на сопротивлениях R₁ и R₂. Поскольку ток через конденсатор не течет, то данная схема может быть заменена эквивалентной схемой. В результате этого для токов может быть записано

, .                                     (2.5.1)

Поскольку сопротивления R₂ и R₃ соединены последовательно, то

.                                  (2.5.2)

Тогда

.                              (2.5.3)

Полное сопротивление цепи определиться по формуле:

.                     (2.5.4)

Применяя закон Ома, получаем для тока

.                                 (2.5.5)

Поскольку сопротивления R₂₃ и R₄ соединены параллельно, то напряжения в этих участках цепи равны и

.                                  (2.5.6)

Подставив значения сопротивлений, получаем

.                                      (2.5.7)

Поскольку токи, протекающие через сопротивления R₂₃ и R₃ дадут в сумме ток I₀, мы можем записать

.                  (2.5.8)

Отсюда, подставив значение I₀, получаем

.                                  (2.5.9)

Тогда

.                                  (2.5.10)

Поскольку токи I₁ и I₂ известны, можно определить напряжение на конденсаторе

.                     (2.5.11)

Подставив значение напряжения на конденсаторе, определим заряд конденсаторе

.                                   (2.5.12)

Ответ: Заряд на конденсаторе .

Задачи по теме №2

1. Определить молярную массу и массу одной молекулы поваренной соли.

2. Определить массу одной молекулы углекислого газа.

3. Найти плотность азота при температуре 400 К и давлении 2 МПа.

4. При нагревании некоторой массы газа на 1 К при постоянном давлении объем этой массы газа увеличился на 1/350 часть первоначального объема. Найти начальную температуру газа.

5. Какое число молекул содержит единица объема сосуда при температуре 10⁰С и давлении 1,33·10^-9 Па?

6. Одинаковые массы азота и кислорода находятся при одинаковой температуре. Как должны относиться их давления, чтобы они имели при этом одинаковые плотности?

7. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 5∙10^-21 Дж. Концентрация молекул 3∙10¹⁹ см^-3. Определить давление газа.

8. Найти концентрацию молекул кислорода, если при давлении 0,2 МПа средняя квадратичная скорость его молекул равна 700 м/с.

9. Найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы кислорода при давлении 20 кПа. Концентрация молекул кислорода при указанном давлении 3∙10²⁵ м^-3.

10. В результате нагревания давление газа в закрытом сосуде увеличилось в 4 раза. Во сколько раз изменилась средняя квадратичная скорость молекул?

11. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

12. Вычислить молярные теплоемкости смеси двух газов: одноатомного и двухатомного. Количества вещества одноатомного и двухатомного газов равны соответственно 0,4 и 0,2 моль.

13. Каковы удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме смеси газов, содержащей кислород массой 10 г и азот массой 20 г?

14. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме для смеси газов, содержащей 10 г гелия и 4 г водорода.

15. Разность между удельными теплоемкостями C_V и C_P некоторого газа составляет 260 Дж/(кг×К). Определите молекулярную массу данного газа.

16. При нагревании 1 киломоля азота было передано 10³ Дж теплоты. Определить работу расширения при постоянном давлении.

17. При каком процессе выгоднее производить расширение углекислого газа: адиабатическом или изотермическом, если объем увеличивается в 2 раза? Начальная температура в обоих случаях одинакова.

18. При изотермическом расширении одного моля кислорода, имевшего температуру 300 К, газ поглотил теплоту 2 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа?

19. Кислород, занимающий объем 1 л при давлении 1,2 МПа, адиабатически расширился до объема 10 л. Определить работу расширения газа.

20. Водород при нормальных условиях имел объем 100 м³. На сколько изменилась внутренняя энергия газа при адиабатическом изменении его объема до 150 м³?

21. В результате кругового процесса газ совершил работу в 1 Дж и передал охладителю теплоту в количестве 4,2 Дж. Определить термический к. п. д. цикла.

22. Определить работу идеальной тепловой машины за один цикл, если она в течение цикла получает от нагревателя количество теплоты 2095 Дж. Температура нагревателя 500 К, холодильника 300 К.

23. Газ, совершающий цикл Карно, 2/3 теплоты, полученной от нагревателя, отдает охладителю. Температура охладителя 280 К. Определить температуру нагревателя.

24. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в три раза выше, чем температура охладителя. Нагреватель передал газу количество теплоты, равное 42 кДж. Какую работу совершил газ?

25. Кислород массой 10 г нагревается от 323 до 423 К. Найти изменении энтропии, если нагревание происходит изохорически.

26. Кислород массой 10 г нагревается от 323 до 423 К. Найти изменении энтропии, если нагревание происходит изобарически.

27. Найти изменение энтропии 4 кг свинца при охлаждении его от 327 до 0⁰С.

28. В результате изохорического нагревания водорода массой 1 кг давление газа увеличилось вдвое. Определить изменение энтропии газа.

29. Лед массой 100 г, находящийся при температуре -30⁰С, превращается в пар. Определить изменение энтропии.

30. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от 0 до 100⁰С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

31. Электрическое поле создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно разноименными зарядами с поверхностной плотностью 1 нКл/м² и 2 нКл/м², соответственно. Определите напряженность электростатического поля между плоскостями.

32. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями 2 мкКл/м² и -0,8 мкКл/м², соответственно, находятся на расстоянии 0,6 см друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

33. Два проводящих шарика, весом по 0,04 Н каждый подвешены в воздухе на непроводящих нитях длиной 2,05 м к одному крючку. Шарикам сообщили равные одноименные заряды, вследствие чего они разошлись на расстояние 0,9 м. Определить величину заряда шарика.

34. Расстояние между двумя зарядами 1000 нКл и 500 нКл равно 0,1 м. Определить силу, действующую на третий заряд 1 мкКл, отстоящий на расстоянии0,12 м от больнего заряда и на расстоянии 0,1 м от меньшего.

35. Тонкий стержень длиной 30 см равномерно заряжен с линейной плотностью 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии 12 см от его конца находится точечный заряд 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

36. Поверхностная плотность заряда бесконечно протяженной вертикальной плоскости 9,8×10^-5 Кл/м². К плоскости на нити подвешен заряженный шарик массой 10 г. Определить заряд шарика, если нить образует с плоскостью угол 45⁰.

37. В вершинах квадрата со стороной a помещены заряды по 10^-6 Кл. Какой отрицательный заряд надо поместить в центр квадрата, чтобы вся система находилась в равновесии?

38. В вершинах равностороннего треугольника со стороной 0,15 м находятся заряды, причем два заряда положительные величиной3 нКл каждый, а один отрицательный -3 нКл. Найти напряженность электрического поля в центре треугольника.

39. Заряженный шарик перемещается из точки M с потенциалом 700 В в точку N, потенциал которой равен нулю. Какую скорость имел шарик в точке М, если в точке N его скорость была равна 0,40 м/с? Заряд шарика равен 40 нКл, а его масса — 1,6 г.

40. Четыре одинаковых капли ртути, заряженных до потенциала 10 В, сливаются в одну. Каков потенциал образовавшейся капли?

41. Заряды величиной 100 нКл, 60 нКл и 40 нКл расположены в вершинах треугольника со стороной 10 см. Определите потенциальную энергию этой системы.

42. Кольцо радиусом 5 см из тонкой проволоки несет равномерно распределенный заряд 10 нКл. Определите потенциал электростатического поля на оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, в точке, удаленной на расстояние 10 см от центра кольца.

43. Два одноименных точечных заряда 11 нКл и 22 нКл находятся на расстоянии 80 см друг от друга. В какой точке на прямой между зарядами абсолютные значения потенциалов полей обоих зарядов одинаковы?

44. Какую работу надо совершить при переносе точечного заряда 30 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 10 см от поверхности заряженного шара? Потенциал на поверхности шара 200 В, радиус шара 2 см.

45. Электрическое поле образовано бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью 2 мкКл/м. Точечный заряд 30 нКл переместили из точки, находящейся на расстоянии 20 см от нити, в точку, находящуюся на расстоянии r₂ от нити, при этом была совершена работа 0,75 мДж. Найти величину r₂.

46. Емкость плоского конденсатора 100 пФ. Диэлектрик – фарфор (e = 5). Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора?

47. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов 500 В и отключенному от источника напряжения, присоединен параллельно незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с другим диэлектриком (стекло). Определить диэлектрическую проницаемость стекла, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до 70 В.

48. Плоский воздушный конденсатор емкостью 10 пФ заряжен до разности потенциалов 500 В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определите работу внешних сил по раздвижению пластин.

49. Разность потенциалов на одном конденсаторе равна 300 В, на втором конденсаторе 100 В. Когда оба конденсатора соединены параллельно, то разность потенциалов между ними оказалась равной 250 В. Найти отношение емкостей конденсаторов.

50. В плоский конденсатор вдвинули плитку парафина (e = 2) толщиной 1 см, которая вплотную прилегает к его пластинам. На сколько нужно увеличить расстояние между пластинами, чтобы получить прежнюю емкость?

51. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено наполовину диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 2 и наполовину диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 7. Найдите емкость такого конденсатора. Площадь каждой обкладки 100 см², расстояние между ними 3 мм.

52. Конденсатор емкости 20 мкФ, заряженный до разности потенциалов 100 В, соединили параллельно с заряженным до разности потенциалов 40 В конденсатором неизвестной емкости. Найти емкость второго конденсатора, если разность потенциалов на конденсаторах после соединения стала 80 В.

53. Конденсатор емкости 1 мкФ, заряженный до напряжения 100 В, соединили разноименными обкладками с конденсатором емкости 2 мкФ. Найти начальное напряжение второго конденсатора, если после соединения напряжение на конденсаторах стало 200 В.

54. При увеличении напряжения, поданного на конденсатор емкостью 20 мкФ, в 2 раза энергия поля в конденсаторе возросла на 0,3 Дж. Найти начальное значение напряжения.

55. Конденсаторы с емкостями 5 мкФ и 300 нФ соединены последовательно и подключены к источнику с напряжением 220 В. Второй конденсатор наполнили керосином (e = 2). На сколько изменится заряд на втором конденсаторе?

56. Определить заряд в плоском конденсаторе емкостью 0,02 мкФ, если напряженность поля в конденсаторе составляет 320 В/см, а расстояние между пластинами 0,5 см.

57. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε=7). Расстояние между пластинами 5 мм, разность потенциалов 1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.

58. Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора, если между ними приложена разность потенциалов 150 В. Площадь каждой пластины 100 см², ее заряд 10 нКл. Диэлектриком служит слюда (ε=7).

59. Плоский конденсатор с площадью пластин 300 см² каждая заряжен до разности потенциалов 1 кВ. Расстояние между пластинами 4 см. Диэлектрик – стекло. Определить энергию поля конденсатора и плотность энергии поля.

60. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого 2 см, заряжен до потенциала 3000 В. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая источника напряжения, пластины раздвинуть на расстояние 5 см? Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения пластин. Площадь пластин 100 см².

61. При включении в электрическую цепь проводника, имеющего диаметр 0,5 мм и длину 47 мм, напряжение на нем 1,2 В при токе в цепи 1 А. Найти удельное сопротивление материала проводника.

62. При ремонте электрической плитки спираль была укорочена на 10% от первоначальной длины. Во сколько раз изменилась мощность плитки?

63. ЭДС батареи равна 240 В, сопротивление батареи 1 Ом, внешнее сопротивление равно 23 Ом. Определить общую мощность, полезную мощность и КПД батареи.

64. Лампочка и реостат, соединенные последовательно, присоединены к источнику тока. Напряжение на зажимах лампочки равно 40 В, сопротивление реостата равно 10 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность 120 Вт. Найти силу электрического тока в цепи.

65. ЭДС батареи равно 20 В, сила тока 4 А. Сопротивление внешней цепи равно 2 Ом. Найти КПД батареи. При каком значении внешнего сопротивления КПД будет равен 99%?

66. На сколько равных частей требуется разрезать проводник сопротивлением 64 Ом, чтобы, соединив эти части параллельно, получить сопротивление 1 Ом?

67. Найти сопротивление медной проволоки, масса которой 1 кг, а диаметр 0,5 мм.

68. Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлением R₁, показал напряжение 198 В, а при включении последовательно с сопротивлением R₂ = 2R₁ показал 180 В. Определите сопротивление R₁ и напряжение в сети, если сопротивление вольтметра 900 Ом.

69. Батарея замкнута на сопротивление 10 Ом и дает ток силой 3 А. Если ту же батарею замкнуть на сопротивление 20 Ом, то сила тока будет 1,6 А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.

70. По алюминиевому проводу сечением 0,2 мм² течет ток 0,2 А. Определите силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля.

71. К проволочному кольцу в двух точках присоединены подводящие ток провода. В каком отношении делят точки присоединения длину окружности кольца, если общее сопротивление получившейся цепи в 4,5 раза меньше сопротивления проволоки, из которой сделано кольцо?

72.

73.

74.

Рис. 5.

75.

76. К батарее присоединены параллельно сопротивление 10  Ом и вольтметр, который показывает напряжение 50 В. Найдите сопротивление вольтметра, если величина тока через батарею 0,01 А.

77.

78. Найти показания амперметра и вольтметра (рис.7). Э.д.с. батареи 110 В, сопротивления R₁=400 Ом, R₂=600 Ом, сопротивление вольтметра 1 кОм.

79. Э.д.с. батареи ε=100 В, сопротивления R₁=100 Ом, R₂=200 Ом, R₃=300 Ом, сопротивление вольтметра 2 кОм. Какую разность потенциалов показывает вольтметр?

80. К источнику с ЭДС 200 В подключены сопротивления R₁ = 200 Ом и R₂ = 1000 Ом. К концам сопротивления R₂ подключен вольтметр. Чему равно сопротивление вольтметра, если он показывает напряжение 160 В? Сопротивлением источника можно пренебречь.

81. Источник с ЭДС 1,25 В и внутренним сопротивлением 0,4 Ом питает лампу. Сопротивление лампы 10 Ом, напряжение на ней 1 В. Найти сопротивление подводящих проводов.

82. Троллейбус массой 11 т движется равномерно со скоростью 36 км/ч. Найти силу тока в обмотке двигателя, если напряжение равно 550 В и КПД 80%. Коэффициент сопротивления движению равен 0,02.

83. Два проводника, имеющие сопротивления 5 Ом и 7 Ом, соединены параллельно и подключены к источнику тока. В первом выделилось 17,6 кДж теплоты. Какое количество теплоты выделилось во втором проводнике за то же время?

84. Два параллельно соединенных резистора с сопротивлениями 6 Ом и 12 Ом подключены последовательно с резистором, имеющим сопротивление 6 Ом, к источнику с ЭДС 200 В. Найти мощность, выделяющуюся на резисторе с меньшим сопротивлением.

85. Источник тока замыкается один раз на сопротивление 2 Ом, другой — на сопротивление 8 Ом. В обоих случаях в сопротивлениях выделяется одинаковая мощность. Найти внутреннее сопротивление источника.

86. Две лампы мощностью 100 и 60 Вт расчитаны на напряжение 130 В. Лампы соединили последовательно и включили в цепь с напряжением 220 В. Какую мощность будет потреблять каждая лампа?

87. Найти внутреннее сопротивление источника, если при замене внешнего сопротивления 3 Ом на 10,5 Ом КПД цепи увеличился вдвое.

88. Определите напряженность электрического поля в алюминиевом проводнике объемом 10 см³, если при прохождении по нему постоянного тока за 5 мин выделилось количество теплоты 2,3 кДж.

89. Три параллельно соединенные лампы сопротивлением 50 Ом, рассчитанные каждая на напряжение 60 В, питаются через реостат от сети с напряжением 220 В. Какова мощность тока, выделяемая в реостате?

90. Имеются два проводника 5 Ом и 3 Ом. Эти проводники подсоединяются к точкам, разность потенциалов между которыми 9 В. Найти количество теплоты, выделяющееся в каждом проводнике в единицу времени, если они соединены а) последовательно, б) параллельно.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики в пяти книгах: учеб. пособие для втузов, кн.1-3.— М.: ООО «Издательство Арстель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.-256с

2. Детлаф А.А., Яворский Б. М. Курс физики. Учеб. пособие для втузов.— М.: Издательский центр «Академия», 2007.-720 с.

3. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. — М.: Издательский центр «Академия», 2007.-560 с.

4. Физико-математический словарь студента, Ч. 1. Тарханов А.К., М.П. Сумец. Воронеж, ВГАСУ, 2005.

5. Физико-математический словарь студента, Ч. 2. Тарханов А.К., М.П. Сумец. Воронеж, ВГАСУ, 2006.

6. Электричество и магнетизм. Методические указания. Тарханов А.К.,          В.Н. Белко. Воронеж, ВГАСУ, 2009.

Приложение