Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основные предельные теоремы теории вероятностей.

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.

Неравенства Чебышева.Если возможные значения ДСВ Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание , то для любого числа  справедливо первое неравенство Чебышева:

                           ,                                              (9)

которое можно записать в другом виде:

                        .                                               (10)

Для СВ Х с математическим ожиданием  и конечной дисперсией D(X) и для любого числа  выполняются неравенства:

                    .                                           (11)

                 .                                        (12)

Неравенство (11) и (12) представляют собой различные формы записи второго неравенства Чебышева.

 

Пример.

Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит менее 360 г.?

Решение.

Случайную величину – вес клубня – обозначим через Х. По условию . Искомую вероятность оценим по формуле (10):

.

 

Задачи.

17.51. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру менее 220 молодых специалистов.

17.52. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.

17.53. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от  не менее, чем на 0,1?

17.54. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от  не менее, чем на 0,2?

17.55. Для СВ Х известна дисперсия и неравенство

. Найти число а.

17.56. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

17.57. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

 

Теорема Чебышева.(Закон больших чисел.)Если случайные величины попарно независимы, имеют математическое ожидание и дисперсию, каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого числа  выполняется неравенство

 

        ,                                    (13)

откуда

          .

 

В частном случае, когда все СВ имеют одно и то же математическое ожидание , неравенство принимает вид

 

                 ,

откуда

                   .

 

Теорема Бернулли.Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то для любого

 

                      .                                                       (14)

Отсюда следует

                        .

 

 

Пример.

Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше, чем на 0,01. Решение.

В данном случае n = 10000, p = 1/6, q = 5/6. Воспользуемся теоремой Бернулли (14):

.

    

Задачи.

17.58. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

17.59. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства  превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,7?

17.60. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 квадратному метру с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю менее чем на 0,25 центнера.

17.61. Определить сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а менее чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см.

17.62. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.

 

Локальная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность  того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно  раз, приближенно равна

                   

или

                              ,

где

                    .                            

 

Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность  того, что в этих испытаниях событие А наступит не менее  раз и не более  раз, приближенно равна

                    ,

где :

                                                                    (15)

Вероятность  можно вычислить по формуле:

                    ,                                                (16)

где  - функция Лапласа.

    

    

 

Пример.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

Решение.

По условию , поэтому . Воспользуемся формулой (16), предварительно вычислив  и  по формуле (15):

.

Тогда

.

 

Задачи.

17.63. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз.

17.64. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.

17.65. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?

17.66. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

17.67. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.

17.68. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?

17.69. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.

17.70.Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?



ОТВЕТЫ

16.1.616.2.первому16.3.72016.4.12016.5.12016.6.105016.7.nr16.8. 4536 16.9.2816.10.  16.11.252016.12.а)взята хотя бы одна книга; б)взято хотя бы по одному тому из всех трех собраний; в)взята 1 книга из первого собрания сочинений или 3 книги из второго или и то и другое; г) взято 2 книги из первого и 2 книги из второго собрания16.13. а)бракованных нет; одно или ни одного бракованного16.14.  16.15.  16.16.  16.19.  16.20.0,6 16.21.0,2 16.22.1/916.23.0,416.24.0,2516.25.0,116.26.716.27.0,116.28.3/8 16.29.195/50616.30.1/15 16.31.4/916.32.10/1916.33.0,001516.34.a) ,б) , в)  16.35.4/916.36.0,7516.37.0,36816.38.» 0,30316.39.0,2516.40.  16.41.2/316.42.3/816.43.  16.44.1/216.45.3/416.46.1/216.47.1/616.48.a) 1/216, б) 1/3616.49.0,7516.50.0,35 16.51.0,2416.52.0,81716.53.1/816.54.0,30516.55.0,9816.56.14/1516.57.a) 0,36 б) 0,91 в) 0,41 г) 0,55 д) 0,1416.58.0,89 16.59.3/816.60.0,7 16.61.0,13516.62.0,02216.63.0,416.64.17/2116.65.7/2416.66.0,5216.67.0,3516.68.0,99816.69.0,2716.70.20/2916.71.2 группа16.72.0,516.73.0,95216.74.0,416.75.0,281; 0,156; 0,563

 

17.1.0,2; ломаная А1А2А3А4А5, где А1(0,2;0,1), А2(0,4;0,2), А3(0,6;0,4), А4(0,8;0,2), А5(1;0,1)17.2. , ,  17.3. ,, ,  17.4.D(X) = 1,2917.5.D(X) = 8,545;   17.6.0,0617.7.0,057917.8.а) 3 из 4; б) не менее 5 из 817.9.0,217.10.0,6317.11.0,14517.12.a) 1/4 б) 1/4 в) 15/16  17.13.  17.14.a) 0,591 б) 2 17.15.  17.16. , , , ,  17.17. , , , , ,,  17.18.  17.19. , , , , ,  17.20. , , , ,  17.21. , , , , ; M(X) = 1,2;  17.22.0,517.23.а)0 б)0,5 в)0 17.24.а)  б)1/217.25.а)  б)  17.26. ; M(X) = 2/3;  17.27.93,7%17.28.0,08817.29. 17.30.0,0478 17.31.9%17.32. ; M(X) = a

17.33.

yi 3 9 15
pi 0,4 0,1 0,5

17.34.

yi 1 4
 pi 0,5 0,5

17.35.

yi 0 1 2
pi 0,2 0,5 0,3

17.36.

yi 0 2 6
 pi 0,5 0,3 0,2

M(Y) = 1,8; D(Y) = 5,16

17.37.

yi 0 1 4 9
pi 0,25 0,45 0,25 0,05

M(X) = 0,6; D(X) = 1,54; M(Y) = 1,9; D(Y) = 4,89

17.38.  17.39.  17.40.  17.41.  17.44.

xi 0 1
 pi 0,45 0,55

M(X) = 0,55; D(X) = 0,2475

yi -1 0 1
pi 0,25 0,4 0,35

M(Y) = 0,1; D(Y) = 0,59; KXY = 0,055

17.45.

xi 2 3 4 5
pi 0,5 0,3 0,15 0,05

 

yi 2 3 4
 pi 0,55 0,3 0,15

17.46. 

yi 1 2 3 4
 pi 0,3 0,4 0,24 0,06

X и Y зависимы

17.47.  17.48.  

17.49.  

17.50.

17.51.  17.52.  17.53.  17.54.  17.55.  17.56.  17.57.  17.58.  17.59.  17.60.  17.61.  17.62.  17.63.  17.64.  17.65.  17.66.  17.67.  17.68.  17.69.  17.70. .

 


ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблицы значений функции Лапласа  и .

x j(x) F0(x) x j(x) F0(x) x j(x) F0(x) x j(x) F0(x) x j(x) F0(x)
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0,3697 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

 

x j(x) F0(x) x j(x) F0(x) x j(x) F0(x) x j(x) F0(x) x j(x) F0(x)
1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 0,0540 0,0519 0,0498 0,0478 0,0459 0,0440 0,0422 0,0404 0,0387 0,0371 0,0355 0,0339 0,0325 0,0310 0,0297 0,0283 0,0270 0,0258 0,0246 0,0235 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913

 

 

x j(x) F0(x) x j(x) F0(x)
2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 0,0224 0,0213 0,0203 0,0194 0,0184 0,0175 0,0167 0,0158 0,0151 0,0143 0,0136 0,0129 0,0122 0,0116 0,0110 0,0104 0,0099 0,0093 0,0088 0,0084 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,50 5,00 0,0079 0,0075 0,0071 0,0067 0,0063 0,0060 0,0056 0,0053 0,0050 0,0047 0,00443 0,00327 0,00238 0,00172 0,00123 0,00087 0,00061 0,00042 0,00029 0,00020 0,0001338 0,0000160 0,0000015 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,499968 0,499997 0,49999997

 

 




⇐ Предыдущая1234567






Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 627.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...