Дискретные случайные величины.

Закон распределения вероятностей.Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Пусть ДСВ принимает значения . Наблюдаемые события заключаются в том, что СВ Х принимают значение , тогда соответствующие вероятности  определяют закон распределения ДСВ Х. Его удобно представить в виде таблицы – ряда распределения СВ Х:

Отметим, что все , кроме того, .

Графически ряд распределения изображается в виде многоугольника распределения. Для его построения возможные значения СВ откладываются по оси абсцисс, а соответствующие им вероятности по оси ординат. Полученные точки соединяются ломаной линией.

Для ДСВ Х функция распределения имеет вид

.

Числовые характеристики СВ.Математическим ожиданием ДСВ называется сумма

.                                 (1)

Свойства математического ожидания:

1) Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины

;

2) При умножении СВ на постоянный множитель

.

Числовой характеристикой рассеивания СВ относительно ее математического ожидания является дисперсия. Дисперсией СВ называется число

.

Для ДСВ получаем по определению (1):

.                                                (2)

Основные свойства дисперсии:

1)  - дисперсия постоянной величины равна нулю;

2) ;

3) .

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ называется квадратный корень из дисперсии

.

Пример.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ, описываемой рядом распределения:

Решение.

Найдем математическое ожидание по формуле (1):

.

Найдем дисперсию по формуле (2):

.

Отсюда получаем СКО:

.

Биномиальный закон распределения.Рассмотрим серию из n независимых испытаний, т.е. таких опытов, в которых вероятность появления того или иного результата не зависит от того, какие результаты наступили или наступят в остальных испытаниях. В каждом из n однотипных опытов некоторое событие А может наступить с вероятностью р (или не наступить с вероятностью q=1-p). Данная схема испытаний называется схемой Бернулли. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно k раз (и не появится n – k раз), выражается формулой Бернулли

                   .                   (3)

Закон распределения ДСВ X, равной количеству реализаций события A в серии из n независимых испытаний по схеме Бернулли, называется биномиальным.

Для ДСВ, распределенной по биномиальному закону с параметрами n (количество испытаний) и p (вероятность реализации события A при одном испытании):

.

Пример.

Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 6 изделий бракованных будет ровно 2?

Решение.

Вероятность брака , тогда . По формуле Бернулли (3): .

Пример.

Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания в цель  при каждом выстреле. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения для полученного ряда распределения.

Решение.

Пусть х – число попаданий в мишень. Вероятные значения х есть . Вероятности попаданий вычисляются по формуле Бернулли:

;

;

;

;

.

Ряд распределения имеет вид:

Построим многоугольник распределения:

Найдем некоторые значения функции :

;

;

;

;

;

;

 и т.д.

График функции распределения имеет вид:

Закон распределения Пуассона. В практике инженерных расчетов встречаются задания, использующие схему испытаний Бернулли, для которой общее число опытов n, образующих серию, велико, а вероятность появления события А после одного испытания мала. В таких случаях применяется закон Пуассона:

                        ,                                                    (4)

где .

Для ДСВ, распределенной по закону Пуассона:

.

Пример.

Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

Решение.

.

По формуле (4):

.

Задачи.

17.1.Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Чему равна вероятность ?

17.2.Подбрасываются две монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина Х – число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины Х.

17.3.В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекают 3 карандаша. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу красных карандашей в выборке.

17.4.Найти дисперсию СВ Х, имеющей закон распределения:

17.5.Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение СВ Х, имеющей закон распределения:

17.6.Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,3. Сбрасываются одиночно 6 бомб. Найти вероятность того, что в цель попадет 4 бомбы.

17.7.Производится 5 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую 0,2. Для поражения цели достаточно трех попаданий. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

17.8.Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) 3 партии из 4 или 5 из 8?; б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8?

17.9.Вероятность хотя бы одного появления события при 4 независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?    

17.10.Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого их которых . Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

17.11.Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

17.12.Монета бросается 4 раза. Найти вероятность того, что герб появится а) один раз; б) 3 раза; в) хотя бы 1 раз.

17.13.Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы цифра 6 появилась хотя бы 1 раз с вероятностью не меньшей 0,9?

17.14.Производится 10 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания при одном выстреле 0,2. Найти а) вероятность того, что число попаданий будет не меньше 2 и не больше 4; б) наиболее вероятное число попаданий.

17.15.Сколько изюма должны содержать в среднем сдобные булочки, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке была не меньше 0,9?

17.16.В урне 8 белых и 2 черных шара. Из урны извлекается 2 шара. СВ Х – число белых шаров в полученной паре. Построить закон распределения и многоугольник распределения СВ Х. Построить график функции распределения СВ Х.

17.17.Построить закон распределения и многоугольник распределения ДСВ Х – числа появлений «герба» при трех бросаниях монеты. Построить график функции распределения СВ Х.

17.18.В партии из 6 деталей четыре годных. Произведена случайная выборка трех деталей. Построить закон распределения и многоугольник распределения СВ Х – числа годных деталей среди отобранных.

17.19.Один раз брошены три одинаковые игральные кости. Случайная величина Х принимает значение 1, если хотя бы на одной кости выпадет цифра 6; значение 0, если 6 не выпала ни на одной грани, но хотя бы на одной грани появилась цифра 5, и принимает значение –1 в остальных случаях. Описать закон распределения СВ Х, построить функцию распределения и найти математическое ожидание и дисперсию.

17.20.Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. СВ Х – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения. Найти дисперсию СВ.

17.21.Производится 3 независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается СВ Х – число появления события А в трех опытах. Построить ряд распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.