Непрерывные случайные величины.

Закон распределения вероятностей.Случайная величина Х называется непрерывной, если существует такая функция , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех

.

Плотность распределения вероятностей обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3.  (условие нормировки);

4. .

Числовые характеристики случайных величин.Для НСВ с функцией плотности распределения f(x) математическиможиданием называется интеграл

,                                                (5)

а дисперсией                                                                                 
              .       (6)

Свойства математического ожидания и дисперсии являются общими для НСВ и ДСВ и имеют тот же вид :
, , , .

Вновь , а под СКО понимается .

Равномерное распределение.НСВ Х называется распределенной равномерно на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей:

Пример.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение НСВ, распределенной равномерно на отрезке :

Решение.

Найдем математическое ожидание по формуле (5):

.

Найдем дисперсию по формуле (6):

Можно найти дисперсию и другим способом:

,

.

Отсюда, с учетом , получаем:

.

Нормальный закон распределения.Нормальным распределением (или распределением Гаусса) называется распределение НСВ, для которого плотность вероятности определяется формулой

.

Для СВ, распределенной по нормальному закону:

.

Вероятность попадания значений нормально распределенной СВ Х в интервал  определяется формулой

                                           ,           (7)

где Ф(х) – функция Лапласа:

.

Значения функции Лапласа приведены в приложении. Для этой функции справедливо соотношение

                                                             .                                  (8)

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула:

.

Пример.

Найти вероятность попадания в интервал (4, 9) значений нормально распределенной СВ Х, для которой математическое ожидание равно 8, а среднее квадратическое отклонение равно 1.

Решение.

Применим формулу (7), которая в данном случае примет вид:

.

Используя далее соотношение (8), получаем окончательно:

(Значения функции Лапласа Ф(х) найдены по таблице приложения.)

Задачи.

17.22.Случайная величина Х задана функцией распределения

 Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (1, 2).

17.23.Случайная величина Х задана функцией распределения

 Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значения: а) меньше 0,2; б) ; в) не меньше 5.

17.24.Закон Коши имеет следующую функцию распределения:

.

Найти: а) плотность распределения; б) вероятность попадания случайной величины, распределенной по закону Коши, в интервал .

17.25.Плотность распределения СВ Х задана формулой

Определить: а) постоянную с; б) вероятность .

17.26.Найти числовые характеристики  непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью вероятностей

17.27.При взвешивании тела получен средний вес 2,36 грамма, среднее квадратическое отклонение веса 0,025 грамма. Какой процент всех взвешиваний дает результат в пределах от 2,3 грамма до 2,4 грамма.

17.28.Диаметр круглой детали, изготовленной на станке, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 50 мм и среднее квадратическое отклонение 0,4 мм. Найти вероятность того, что отклонение длины диаметра от среднего значения по абсолютной величине будет заключено между числами 0,6 и 0,8.

17.29.Найти дисперсию СВ, распределенной по нормальному закону, если известно, что отклонения от математического ожидания, не превосходящие 0,1 см, имеют место с вероятностью 0,7887.

17.30.Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и среднюю квадратическую ошибку 75 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м.

17.31.Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднюю квадратическую ошибку взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5 г.

17.32.Плотность вероятности СВ Х имеет вид:

Определить математическое ожидание и дисперсию СВ.

Функции случайных величин.

Решение вероятностных задач нередко требует использования случайных величин, которые представляют собой функции одного или нескольких аргументов – случайных величин. Простейшей среди них является функция одной СВ . Как правило, закон распределения СВ Y неизвестен заранее. Его необходимо определить, исходя из особенностей случайного аргумента – СВ Х.

Пусть СВ Х дискретна и имеет ряд распределения:

Тогда СВ  соответствует ряд распределения:

y			…
pi	p1	p2	…	pn

Пример.

Дискретная СВ Х задана законом распределения:

Найти закон распределения СВ .

Решение.

Найдем возможные значения :

.

Найдем их вероятности:

;

;

Так как событие  есть сумма двух несовместных событий  и , то по теореме о вероятности суммы несовместных событий:

;

.

Итак, ряд распределения СВ  имеет вид:

Задачи.

17.33.Дискретная СВ Х задана законом распределения:

Найти закон распределения СВ .

17.34.Дискретная СВ Х задана законом распределения:

Найти закон распределения СВ .

17.35.Дискретная СВ Х задана законом распределения:

Найти закон распределения СВ .

17.36.Дискретная СВ Х задана законом распределения:

Найти закон распределения СВ ;  и .

17.37.Дискретная СВ Х задана законом распределения:

Найти закон распределения СВ . Определить , , , .

17.38. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти плотность распределения функции .

17.39.Найти функцию плотности СВ , если СВ Х распределена равномерно по закону,

17.40.Случайная величина Х подчинена закону равномерного распределения на интервале : .

Найти закон распределения величины .

17.41.Непрерывная СВ Х задана плотностью распределения  на интервале , вне этого интервала . Найти математическое ожидание функции .

Системы случайных величин.

Для упорядоченной пары случайных величин  функция  называется функцией распределения случайного вектора .

Свойства функции распределения:

1. .

2. ,      .

3. .

4.  - неубывающая функция своих аргументов.

5.  непрерывна слева по каждому из своих аргументов.

Если компоненты вектора представляют собой ДСВ, то закон распределения случайного вектора можно задать перечислением всех возможных значений пар  и соответствующих им вероятностей , что удобно отображать в виде таблицы двумерного распределения вероятностей. Если компоненты вектора представляют собой НСВ, то закон распределения может быть задан при помощи функции двумерной плотности распределения вероятностей f(x,y), интегрирование которой дает функцию распределения:

.

Корреляционный момент  случайных величин X и Y есть математическое ожидание
                        ,
то есть

Случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент .

Пример.

По заданному закону распределения случайного вектора определить законы распределения его компонент - СВ Х и СВ Y.

Решение.

СВ Х принимает значения . Событие  есть сумма независимых между собой событий  и . В результате вероятность этого события:

.

Аналогично находим . Таким образом, закон распределения СВ Х имеет ряд распределения:

Таким же образом находим закон распределения СВ Y:

Задачи.

17.42.Доказать равенство: .

17.43.Доказать равенство: .

17.44.Случайная точка на плоскости распределена по закону

Найти: а) одномерные законы распределения X и Y;

б) , , , , .

17.45.Двумерная дискретная величина распределена по закону

Найти законы распределения X и Y.

17.46.Двумерная дискретная величина распределена по закону

Найти условный закон распределения величины Y при Х =1. Являются ли независимыми величины Х и Y?

17.47.Задана функция распределения случайной величины (X, Y)

.

Найти вероятность того, что в результате испытания составляющие X и Y примут значения соответственно Х < 2, Y < 4.

17.48.   Плотность распределения случайного вектора имеет вид

 и  вне квадрата. Найти функцию распределения . Вычислить вероятность того, что X и Y примут значения .

17.49.Плотность распределения случайного вектора имеет вид

Определить: а) константу А; б) функцию распределения .

17.50.Найти плотность вероятности случайной величины (X, Y) по известной функции распределения

.