Методические указания к лабораторной работе № 2

Исследуемая система (рис. 5) состоит из трёх апериодических звеньев, входящих в прямой канал (звенья 1 и 2) и в обратную связь  (звено 3). Характерной особенностью таких систем является склонность их к перерегулированию и колебаниям. При определённом сочетании параметров в подобных системах могут возникнуть незатухающие или расходящиеся колебания, т. е. система может стать неустойчивой.

Для построения результирующей ЛЧХ встречно-параллельно соединённых звеньев можно воспользоваться следующей методикой.

Пусть имеются встречно-параллельно соединённые звенья с передаточной функцией прямого канала W₁(p) и передаточной функцией W₂(p) канала ОС (рис. 6 а). Таким образом, известны АФЧХ прямого канала  и соответственно ЛЧХ – и . АФЧХ канала обратной связи  и соответственно ЛЧХ – и .

Понятие обратных частотных характеристик звена обратной связи следующее:

– обратная АЧХ

– обратная ФЧХ

– обратная ЛАЧХ

Таким образом, обратные ЛЧХ являются зеркальным отображением прямых ЛЧХ относительно оси абсцисс (оси lgw).

Известно, что передаточная функция встречно-параллельного соединения звеньев с ООС определяется соотношением

              ,                         (2.1)

для частотных характеристик

. (2.2)

В общем случае в некоторой области частот может соблюдаться соотношение , или , т. е.  лежит ниже .

Тогда уравнение (2.2) можно представить в виде

 .        (2.3)

Очевидно, что в знаменателе дроби стоит выражение, мало отличающееся от единицы. В оставшейся области частот , или , т. е.  лежит ниже .

Тогда, представив уравнение (2.2) в виде

    ,          (2.4)

можно снова отметить, что в знаменателе дроби стоит выражение, мало отличающееся от единицы.

Таким образом, результирующая АФЧХ встречно-параллельно соединённых звеньев с ООС идёт по АФЧХ прямого канала в области частот, где  и по обратной АФЧХ канала ОС в области частот, где  с учётом поправочного коэффициента, равного в первом случае

                и                    (2.5)

во втором.

Переходя к ЛЧХ, последнее можно сформулировать следующим образом.

Результирующая ЛЧХ встречно-параллельного соединенных звеньев с ООС идёт по ЛЧХ прямого канала в области частот, где  лежит ниже , и по обратной ЛЧХ канала ОС в области частот, где  лежит ниже , за вычетом координат поправок, т. е.

Рис. 6. Структурная схема (а), ЛЧХ (б), поправочный вектор (в)
и переходная функция (г) САУ

    Нахождение поправочного вектора

, (2.6)

иллюстрируется векторной диаграммой (рис. 6 в).

Для удобства нахождения поправочных координат на рис. 7 приведена номограмма, в которой вместо абсолютных значений амплитуд  и , даны их логарифмы, т. е.  и .

Таким образом, для построения результирующей ЛЧХ встречно-параллельно соединённых звеньев (рис. 6 б) необходимо:

– построить  прямого канала и  канала ОС;

– задавшись частотой w_i , определить  как расстояния между  и , а   как расстояние между  и         (рис. 6 б);

– по   и   в номограмме рис. 7 найти L_П(w_i) и j_П(w_i). L_p(w) отложены в кружках по центру номограммы; j_р(w) – на концах лучей, исходящих из центра нижней линии номограммы; L_П(w) – в кружках на окружностях с центром в левом нижнем углу; j _П(w) – на концах лучей, исходящих из левого нижнего угла номограммы (рис. 7);

– значение L_П(w_i) отнимается от значения L₁₂(w_i) или L₃(w_i), лежащих ниже относительно друг друга, с учётом знака поправки, полученной по номограмме;

– значение j_П(w_i) откладывается от фазы звена, ЛАЧХ (или обратная ЛАЧХ) которого лежит ниже. j_П(w_i) откладывается всегда вовнутрь пространства, лежащего между j₁₂(w) и j₃^-1(w);

– повторяя построение для других частот аналогично изложенному, находят координаты L(w) и j(w) результирующей ЛЧХ.

Наибольшие поправки будут в частоте пересечения  и  – частоте среза w_С замкнутого контура. Действительно, при этой частоте  и величина поправки будет полностью определяться фазой .  При  поправка будет 0,15 лог, что соответствует поправке аппроксимированного апериодического звена, т. е. в этом случае переходный процесс будет иметь апериодический характер, время регулирования составит примерно      (3 – 4)/w_C. При  поправка в частоте w_С равна нулю – процесс может иметь перерегулирование 18–25 % и колебательность
1–2 колебания.

В пределе при  система находится на грани устойчивости, и в ней возникают незатухающие колебания с частотой w_С. Амплитуда поправки при этом равна нулю, а , т. е. результирующая ЛАЧХ имеет бесконечное возрастание (разрыв) в частоте среза. 

Установившееся значение регулируемой величены определяется значением результирующей ЛАЧХ в области малых частот (при w = 0 в пределе), поэтому следует обратить внимание на определение поправок в области низких частот. Если учесть, что , то правильность нахождения поправок при w = 0 можно проверить определением А(0), придавая в формуле (2.2) w = 0 (или полагая в формуле (2.1) р= 0).

В данной работе исследуется устойчивая система. При этом варианты для членов бригады подобраны так, что подъём результирующей ЛАХ в одном случае почти отсутствует, в другом варианте он в основном определяется инерционностью ОС, в третьем варианте он появляется в основном за счёт поправок. Первому случаю соответствует монотонный переходный процесс, второму – переходный процесс с большим перерегулированием, третьему – колебательный переходный процесс.

Переходный процесс в первых двух случаях может быть построен по методике, описанной в п. 2.1.3 (рис. 4). В третьем случае переходный процесс может быть построен, если САУ представить эквивалентным колебательным звеном второго порядка. При этом частота  (период Т_К = 2p/w_K) и постоянная затухания  зависят от коэффициента демпфирования x. По аналогии с колебательным звеном x может быть определён высотой g всплеска ЛАЧХ типа L (рис. 7, б), т. е. . Построение приближённой кривой переходного процесса
(рис. 7 г) сводится к построению огибающих с подкасательной Т_з и вписанных между огибающими колебаний X c периодом Т_К.

Вопросы для самопроверки

1. Как построить результирующие ЛЧХ при встречно-параллельном соединении звеньев?

2. При каких условиях в замкнутой САУ возникают колебания выходной величины?

3. С помощью ЛЧХ пояснить влияние значения Т_ОС на качество переходного процесса.

Литература

[1, c. 110–123, 225–228];

[3, с. 82–88, 207–210, 255–259].