ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Высказывательная переменная и ее истинностное значение. Число всевозможных распределений истинностных значений  высказывательных переменных. Формула алгебры высказываний. Подформула. Соглашение о порядке выполнения в формуле логических операций. Таблицы истинности. Типы формул: выполнимая формула, опровержимая формула, тождественно истинная формула (тавтология) и тождественно ложная формула (противоречие).

9.1.   Указать выражения, являющиеся формулами алгебры высказываний:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

9.2.   Исключить возможно большее число скобок в формулах:

1) ;

2) ;

3) .

9.3.   Восстановить скобки в формулах:

1) ;

2) ;

3) .

9.4.   Выписать все подформулы следующих формул, учитывая соглашение о порядке выполнения логических операций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

9.5.   Выписать всевозможные наборы истинностных значений для одной, двух, трех, четырех высказывательных переменных. Вывести и доказать формулу о числе всевозможных наборов для  высказывательных переменных.

9.6. Построить таблицы истинности для следующих формул. Определить тип формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

9.7.   Ключ от замка спрятан в одной из трех шкатулок (черной, белой, красной), на крышках которых сделаны надписи:

на черной: ключ не в белой шкатулке;

на белой: ключ не в этой шкатулке;

на красной: ключ в этой шкатулке.

В какой шкатулке ключ, если известно, что из трех надписей на крышках, по крайней мере, одна истинна и, по крайней мере, одна ложна?

9.8.   В доме живут А, его жена Б и трое их детей В, Г, Д, при этом справедливы следующие утверждения:

а) Если А смотрит телевизор, то и Б смотрит телевизор.

б) Хотя бы один из Г и Д смотрит телевизор.

в) Ровно один из Б и В смотрит телевизор.

г) В и Г либо оба смотрят, либо оба не смотрят телевизор.

д) Если Д смотрит телевизор, то А и Г тоже смотрят телевизор.

Кто смотрит и кто не смотрит телевизор?

9.9.   Андрей и Борис разговаривали о предстоящей контрольной работе по математической логике. Андрей сказал: «Если я справлюсь с работой, то ты с ней тоже справишься». Борис ответил: «А если я не справлюсь с работой, то и ты с ней не справишься». Докажите, что во время этого разговора или оба говорят правду, или оба лгут.

9.10.   Пять девушек: Анна, Белла, Вера, Галина и Дарья – вышли в финал конкурса красоты. На вопрос Дарье: «Кто старше: Вы или Белла?», журналист получил следующий ответ: «Если я старше Анны, то я старше Беллы, либо моложе Веры. Если же я не старше Беллы, то я моложе Галины. Если я моложе Галины и старше Анны, то я не моложе Веры. Если я моложе Галины и не старше Беллы, то я старше Анны». Каков правильный ответ не вопрос журналиста?

9.11.   Для полярной экспедиции из восьми претендентов: A, B, C, D, E, F, G и H надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанность биолога могут выполнять E и G, гидролога – B и F, синоптика – G и F, радиста – C и D, механика – C и H, врача – A и D. Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции каждый сможет выполнять только одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не сможет ехать без B, D – без H и без C, C не может ехать одновременно с G, а A вместе с B?

9.12.   В гимназии, перешедшей на самообслуживание, четырем старшеклассникам: Андрееву, Костину, Савельеву и Давыдову поручили убрать седьмой, восьмой, девятый и десятый классы. При проверке оказалось, что десятый класс плохо убран. Не ушедшие домой ученики сообщили следующее. Андреев: «Я убирал девятый класс, а Савельев – седьмой»;

Костин: «Я убирал девятый класс, а Андреев – восьмой класс»;

Савельев: «Я убирал восьмой класс, а Костин – десятый класс».

Давыдов ушел домой. Оказалось, что каждый ученик одну половину говорил правильно, а другую – неправильно. Какой класс убирал каждый ученик?