ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПРЕРАЦИИ НАД НИМИ. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПРЕРАЦИИ НАД НИМИ. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Классификация предложений естественного языка. Суждение, истинностное значение суждения: истина (1) или ложь (0). Классификация суждений по возможности определения их истинностных значений: определенные и неопределенные суждения. Виды неопределенности суждений (неопределенность частного суждения, возникшая из-за возможности расширения объема субъекта, из-за недостаточной информации о связи между терминами суждения, из-за многозначности терминов суждения, из-за использования переменной в качестве субъекта или предиката). Высказывание. Классификация высказываний по структуре: простые и сложные. Логические операции, их символьное обозначение и содержательный смысл. Алгебра высказываний, то есть множество всех высказываний с определенными на нем логическими операциями: , где  – множество всех высказываний.

отрицание			«не», «неверно, что» и т.д.
конъюнкция			«и», «а», «но», «а также», «кроме того» и т.д.
дизъюнкция	неразделительная		«или», «либо» и т.д.
	разделительная		«либо…, либо», «или …, или…» и т.д.
импликация			«следовательно», «влечет», «если …, то…», «…достаточно для…», «…является необходимым условием для…» и т.д.
эквиваленция			«если и только если», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно» и т.д.

8.1.Среди следующих предложений указать определенные и неопределенные суждения. В неопределенных суждениях установить вид неопределенности. Для определенных суждений (высказываний) определить истинностное значение.

1) Море штормит.

2) Иногда море штормит.

3) Море всегда штормит.

4) Любое море штормит.

5) Любое море иногда штормит.

6) Всегда какое-либо море штормит.

7) В море шторм?

8) Копейка рубль бережет.

9) Не переходи улицу на красный свет светофора!

10) Ученик решил задачу.

11) Ученик знает теорему Пифагора.

12) Любой ученик знает теорему Пифагора.

13) Какой русский не любит быстрой езды?

14) Множество  счетно.

15) Поле не имеет делителей нуля.

16) Данный многочлен не имеет вещественных корней.

8.2.Определить истинностные значения простых высказываний, используя диаграммы Эйлера-Венна для демонстрации отношений между их терминами:

1) Все люди подвержены заболеваниям.

2) Некоторые философы – математики.

3) Все алгебраические кольца являются полями.

4) Среди цветов встречаются хищники.

5) Галактики разлетаются со скоростью, которая может приближаться к скорости света.

6) Ни один политик не исповедует буддизм.

7) Некоторые растения не переносят обильного полива.

8) Последний император Германии Вильгельм II проводил милитаристическую политику.

9) Все европейские государства участвовали во Второй Мировой Войне.

10) Некоторые прямые не пересекаются и не параллельны.

11) Не существует живородящих рыб.

12) Агата Кристи – мастер детективного жанра.

13) Уравнение  имеет решение в поле рациональных чисел.

8.3.Вычислить истинностные значения сложных высказываний по значениям составляющих его простых высказываний:

1) , если , , ;

2) , если , , ;

3) , если , , ;

4)  на наборах , , .

8.4. Известно, что  и . Определить истинностное значение .

8.5.Известно, что . Определить истинностные значения высказываний:

, , , .

8.6. Записать символьные модели высказываний и определить их истинностные значения:

1) Либо  делится на , либо  делится на .

2) Сумма углов четырехугольника меньше или равна .

3) , .

4) Так как город Нижний Новгород был в советское время переименован в «город Горький», а город Царицын – в «город Сталинград», то .

5) Тигр – травоядное животное, следовательно, Джон Кеннеди – президент Франции.

6) Луна не спутница Земли, если .

7) Равенство  достаточно для равенства .

8) Для равенства  необходимо, чтобы  или .

9) Для равенства  достаточно, чтобы , а .

10) Неверно, что если , то .

11) Нидерланды относятся к экономически слаборазвитым странам, если и только если Россия – крупнейший экспортер нефти.

12) Вертикальные или внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.

8.7. Построить сложные высказывания, имеющие следующие символьные модели. Определить истинностные значения построенных высказываний.

1) ;

2) ;

3) .

8.8.Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой – брюнет, третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?

8.9.В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что:

а) вода и молоко не в бутылке;

б) сосуд с лимонадом стоит между кувшином и квасом;

в) в банке не лимонад и не вода;

г) стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

8.10. В очереди за билетами в кино стоят друзья: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега, Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. Кто за кем стоит?

8.11. Смит, Джонсон и Робинсон работают в одном поезде машинистом, кондуктором и кочегаром. В поезде едут три пассажира с теми же фамилиями. (Пассажира будем называть «Мистер» (М-р).) М-р Робинсон живет в Лос-Анджелесе, кондуктор – в Омахе. М-р Джонсон давно позабыл всю алгебру, которой его учили в колледже. Однофамилец кондуктора живет в Чикаго. Кондуктор и один из пассажиров, известный специалист по математической логике, ходят в одну церковь. Смит всегда выигрывает у кочегара партию в бильярд. Как фамилия машиниста?