Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задания для самостоятельной работы

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

С щагом 0,1 и 0,01 изобразить на плоскости графики функций:

1. 2.

3. 4. .

8.

, .

11. , .12. ,

.14.

15. 16.

§ 3. Основные свойства и графики элементарных функций

1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Свойства функции

 

1) ;                               

2) ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) При   функция не имеет корней;

при    корнем функции является любое действительное число;

6) При   функция положительна на промежутке ,

при   функция отрицательна на промежутке ;

7)  График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) Промежутков возрастания и убывания нет. На всей области определения функция принимает одно и то же значение;

9) Точек максимума и минимума нет.

10) График функции – прямая (рис. 1–3).

 

у                                                             у

b

 


О                      х

О                      х

b

            Рис.1                              Рис.2

 

у

 


О                                        хРис. 3

Свойства функции

 

1) ;                            

2) ;

3) Функция является нечетной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень   при любом

График функции пересекает ось Ох в точке ;

6)  При функция положительна на промежутке иотрицательна на промежутке ;при   функция положительна на промежутке иотрицательна на промежутке ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При   функция возрастает на всей области определения;

при   функция убывает на всей области определения;

9) Точек максимума и минимума нет.

10) График функции – прямая (рис. 4–5).

 

у                             у

 


           О                      х

 О               х

 

Рис.4                                                        Рис.5

 

 

Свойства функции

 

 

1) ;                 

2) ;

3) Функция является функцией общего вида;

4)  Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень .

График функции пересекает ось Ох в точке ;

6) При   функция положительна на промежутке ,

отрицательна на промежутке ;при  функция положительна на промежутке , отрицательна на промежутке ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При   функция возрастает на всей области определения;

при   функция убывает на всей области определения;

9) Точек максимума и минимума нет.

10) График функции – прямая (рис. 6-9).

 

, ,

у                                                             у

 


b

 


       О                      х

 О                      х       b

Рис.6                                  Рис.7

 

 

, ,

у                              у

 


 b

 


                           О           х

О   х

 

 Рис.8                                                                    Рис.9

2. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень  при любом График функции касается оси Ох в точке ;

6)  При   функция положительна на промежутках   и , при   функция отрицательна на промежутках   и ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При  функция убывает на и возрастает на ; при функция возрастает на  и убывает на ;

9) При функция имеет минимум в точке , причем  При  функция имеет максимум в точке , причем ;

10) График функции изображен на рис. 10-11.

 

у                                                             у

 


О                      х

 О                      х

 

                         Рис.10 Рис.11

Свойства  функции

 

1) ;               

2) ;

3) Функция является нечетной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень  при любом График функции пересекает ось Ох в точке ;

6) При функция отрицательна на промежутке   и положительна на промежутке , при  функция положительна на промежутке   и отрицательна на промежутке ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При  функция возрастает на всей области определения, при   функция убывает на всей области определения;

9) Функция не имеет минимумов и максимумов;

10) График функции изображен на рис. 12-13.

 

у                             у

 


О                       х

О                      х

 

 

                   Рис. 12 Рис. 13

Свойства функции

 

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция не имеет корней при любом График не пересекает ось Ох;

6) При  функция положительна на промежутках  и , при   функция отрицательна на промежутках и ;

7) График функции не пересекает ось Оу;

8) При  функция возрастает на   и убывает на ; при  функция убывает на  и возрастает на ;

9) Функция не имеет минимумов и максимумов;

10) График имеет вертикальную асимптоту х=0 и горизонтальную асимптоту при

11) График функции изображен на рис. 14–15.

 

у                               у

 


О                      х

О                      х

 

 

                   Рис. 14                                       Рис. 15

Свойства функции

 

1) ;          

2) ;

3) Функция является нечетной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция не имеет корней при любом График функции не пересекает ось Ох;

6) При   функция отрицательна на промежутке иположительна на , при   функция положительна на промежутке  и отрицательна на ;

7) График функции не пересекает ось Оу ;

8) При   функция убывает на промежутках и ;при   функция возрастает на промежутках   и ;

9) Функция не имеет минимумов и максимумов;

10) График имеет вертикальную асимптоту х=0 и горизонтальную асимптоту  при

11) График функции изображен на рис. 16–17.

 

у                               у


 


                          О                     х

 О                      х

 

 Рис. 16 Рис. 17

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

 

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3)  Функция является четной;

4)  Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень  при любом

График функции касается оси Ох в точке ;

6) При   функция положительна на промежутках  и , при   функция отрицательна на промежутках   и ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При   функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке ; при  функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутке ;

9) При   функция имеет минимум в точке , причем

При   функция имеет максимум в точке , причем

10) График функции – парабола (рис. 18–19).

 


у                                                             у

 


                                                                   О                      х

О                      х

 

                      Рис.18                                                            Рис.19

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Если и  или  и , то функция имеет два различных действительных корня: и . В этих случаях график функции пересекает ось Ох в точках   и .

Если и  или  и , то функция не имеет действительных корней. График не пересекает ось Ох и не касается ее, а расположен всюду вышеОх или всюду ниже Охв соответствии со знаком а;

6) При  и  функция положительна на   и , а отрицательна на . При и  функция положительна на . При  и  функция отрицательна на  и ; положительна на .При  и функция отрицательна на ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При   функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

При   функция возрастает на промежутке   и убывает на промежутке ;

9) При  функция имеет минимум в точке , причем При  функция имеет максимум в точке , причем

10) График функции – парабола (рис. 20–23).

 

, ,

у                                                             у

 

с

      О              х

с О                          х

                      Рис. 20                                                                    Рис. 21

, ,

у                                 у

с

                                                                     О                     х

                                                                         с

          О            х                                

 

                                        Рис. 22                                                                   Рис. 23

Свойства функции

 

1) ;

2) , если , , если ;

3)  Функция является функцией общего вида;

4)  Функция не является периодической;

5) , где ;

6) При  функция имеет два различных действительных корня: . График пересекает ось Ох в точках  и .

При  функция имеет один действительный корень: В этом случае график касается оси Ох в точке .

При функция не имеет действительных корней. График не пересекает ось Ох и не касается ее, а расположен всюду выше оси Ох  или всюду ниже оси Ох в соответствии со знаком числа а;

7) При : .При : При функция не разлагается на множители;

8) При  и  функция положительна на  и ; отрицательна на .При  и  функция положительна на  и , а в точке обращается в нуль.При и функция положительна на .При  и  функция отрицательна на  и ; положительна на .При  и  функция отрицательна на и , а в точке обращается в нуль.При  и  функция отрицательна на промежутке ;

9) График функции пересекает ось Оу в точке ;

10) При   функция убывает на  и возрастает на . При  функция возрастает на  и убывает на ;

11) При имеем:

При имеем: 

 

12) График функции – парабола (рис. 24–29). 

 

 

, ,

у                                                                                    у

 


с

х                               х

с

                      Рис.24                                                                         Рис. 25

 

, ,

у       у

 


с                                                                                    с


                    х                 х

                    Рис. 26                    Рис. 27

 

 

, ,

у                                                                                 у

х


  с                   х                                                  с

 

                     Рис. 28 Рис.29

4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ( , )

 

1. Область определения:

2. Область изменения:

3. Функция не является ни четной, ни нечетной;

4. Функция не является периодической;

5. Функция не имеет корней. Ее график не пересекает ось Ох;

6. График функции пересекает ось Оу в точке с ординатой   при любом ;

7. Функция положительна на всей области определения;

8. Функция непрерывна на всей области определения;

9. Если  то функция  возрастает при . Если  то функция  убывает при ;

10. Функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

11. Графики изображены на рис. 30-31.

 

у                 

 

 

                                                        1

 


О     1х                       Рис. 30

 

у        

 

                                                                     1

 


О       1                                     х               Рис. 31

5. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ( , )

 

1.

2.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной;

4. Функция не является периодической;

5. Функция имеет корень   при любом а. Ее график пересекает ось Ох в точке  при любом ;

6. График функции не пересекает ось Оу;

7. Если то   отрицательна при  и положительна при . Если  то функция  положительна при   и отрицательна при ;

8. Функция непрерывна на всей области определения;

9. Если  то   возрастает при . Если  то функция   убывает при ; 

10. Функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

11. Графики изображены на рис. 32-33.

 

         у

 

1

 


   Рис. 32О 1                                             х

 

 

у

 

 

 О 1                                     х


                                            -1

            Рис. 33

6. ФУНКЦИЯ МОДУЛЯ ЧИСЛА

 

Свойства функции

 

1) ;                          

2) ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет один корень . График функции касается оси Ох в точке ;

6) Функция положительна на промежутках   и ; в точке   обращается в нуль;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) Функция убывает на промежутке , возрастает на ;

9) Функция имеет минимум в точке , причем ;

10) График функции указан на рис. 34.

у


у=–х                           у=х

 

 


                                О                                х            Рис. 34

Функция   обладает теми же свойствами, что и функция . Ее график изображен на рис. 35.

у


 

 


                                 О                                  х          Рис. 35

Свойства функции

 

1) ;              

2) ;

3) Функция является функцией общего вида;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет один корень: . График функции касается оси Ох в точке ;

6) Функция положительна на промежутках   и . В точке   обращается в нуль;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) Функция убывает на промежутке , возрастает на ;

9) Функция имеет минимум в точке , причем ;

10) Графики функции изображены на рис. 36–37.

 

,

у


 

 


                О      хРис. 36

 

,

у


 

 


  О                 х           Рис. 37

7. ДРОБНО–ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

 

1) ;

2) ;

3) Функция является функцией общего вида;

4) Функция не является периодической;

5) При  функция имеет один корень: . В этом случае график функции пересекает ось Ох в точке . При   функция не имеет корней и график функции не пересекает ось Ох; 

6) При  функцияположительна на  и , отрицательна на .При  функция положительна на , отрицательна на  и ; При  функция положительна на промежутках  и , отрицательна на .При  функция положительна на промежутке , отрицательна на промежутках и ;

7) При   график функции пересекает ось Оу в точке . При   график функции не пересекает ось Оу; 

8) При   функция убывает на  и .

При   функция возрастает на     и ;

9) Функция не имеет экстремумов;

10) Графики функции изображены на рис.38–1.

у                            ,

 

 

 


О х

 

 

                                                                                            Рис. 38

 

у                               ,

 


О х

 

 


Рис. 39

 

 

у                         ,

 

 

 


 

 


О х

 

 

                                                                                               Рис. 40

 

 

у                              ,

 


О                    х

 

 

 

 

Рис. 41

 

 





































ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

 

Функция

1) ;            

2) ;

3) Функция нечетная;

4) Функция 2 – периодическая;

5) , если

6) , если

7) , если

8) Функция возрастает на любом из промежутков вида

Функция убывает на любом из промежутков вида

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒





Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 334.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...