Вычисление ДИ в декартовых координатах

Примеры решения

3.1. Расставить пределы интегрирования в двойных интегралах  от функции , непрерывной в указанных областях D:

► 1. Построим область D (рис. 4). Первая линия − парабола, симметричная относительно оси ОY, вторая − прямая. Найдем точки пересечения этих линий. Решаем уравнения  и , находим:  Область интегрирования является правильной                                 в направлении обеих осей.

Воспользуемся сначала формулой (вычисление ДИ в декартовых координатах)

Здесь в повторном интеграле внутреннее интегрирование производится по переменной , а внешнее − по . Пределы интегрирования получены следующим образом. Область D была спроектирована на ось ОX (область заключили в полосу, параллельную ОY ), тогда  Через произвольную точку  провели прямую, параллельную оси ОY в положительном направлении, отметили точки входа (К) этой прямой в область и выхода (М). Функция , которой удовлетворяют точки входа − нижний предел для , функция , которой удовлетворяют точки выхода − верхний предел. Таким образом,

При внешнем интегрировании по  область D заключаем в полосу, параллельную оси ОХ, тогда .

Применив формулу (вычисление ДИ в декартовых координатах), получим:

2. Построим область D (рис. 5). Область D ограничена двумя прямыми и двумя ветвями гиперболы. Как видно из рисунка, область D является правильной в направлении оси ОХ.

По отношению к оси ОY область D не является правильной (почему?). Тогда используя формулу (вычисление ДИ в декартовых координатах), получим:

◄

3.2. Записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения

1.    

2. .

► 1. Область . Построим области D₁ и  D₂, если D₁= |  (рис. 6).

Видно, что область D − правильная в направлении оси ОХ. Левая часть границы области  − одна линия, а именно , а его правая часть состоит из двух линий ОВ и ВС, определяемых разными уравнениями:  и    Поэтому область D представлена суммой (D₁ D₂) двух областей D₁ и D₂. Однако область D является правильной в направлении оси ОY. Если её заключить в полосу, параллельную оси ОY, то   а двойной интеграл запишется в виде одного повторного:

2. Построим области  и  (рис. 7). 

Область  является правильной в направлении оси ОY. Нижняя ее граница − одна линия , а верхняя состоит из двух линий ОВ и ВС, определяемых разными уравнениями:  и . Область является правильной и в направлении оси ОX. Если её заключить в полосу, параллельную оси ОХ, то . В этом случае двойной интеграл представляется в виде одного повторного:

 ◄

3.3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

► Построим область, ограниченную прямыми:  - cнизу,  - сверху и линиями: - слева,  - справа (рис. 8).

Как нетрудно заметить, линия  есть левая половина окружности  Область D является правильной относительно каждой из осей ОХ и ОY, но на разных отрезках оси ОХ она сверху ограничена разными линиями: на отрезке [−1, 0] − это верхняя половина окружности                  а на отрезке [0,1] − это прямая . Снизу область D ограничена осью абсцисс . Следовательно, можно записать

 ◄

3.4. Вычислить двойной интеграл

► В данном случае область интегрирования D (рис. 9) является правильной как относительно оси ОY, так и оси ОХ, поэтому нетрудно перейти к повторному интегралу двумя способами:

1.   

2.

Однако, второй способ предпочтительней, поскольку в первом случае для внутреннего интеграла первообразная не выражается через элементарные функции. Это замечание может быть полезно и в ряде других примеров, поскольку изменение порядка интегрирования часто упрощает вычисления.        В данном случае будем иметь:

 ◄

3.5. Найти среднее значение функции  в треугольнике   О (0, 0), А (1, 0),  В (0, 1).

► Используя теорему о среднем ( ), имеем  Площадь _∆ОАВ   и

. ◄

Аудиторные задачи

I. Расставить пределы интегрирования в двойных интегралах  от функции  непрерывной в указанных областях D:

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

II. Изменив порядок интегрирования, записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения:

3.10.   

3.11.

3.12.  

3.13.

III. Вычислить интегралы:

3.14.        

3.15.        

3.16.

3.17.

3.18.  

3.19.

IV. Найти среднее значение функции:

3.20.

3.21.

3.22.

Задание на дом

3.23. Расставить пределы интегрирования в ДИ                          для указанных областей D: 1) D - треугольник с вершинами О (0, 0), А (1, −1), В (1, 1); 2)  D:  

3.24. Изменить порядок интегрирования:

1.

2.

3.25. Вычислить интегралы:

1.

2.

IV. Найти среднее значение функции  в области

Ответы

3.6.  

3.7.  

3.8.  

3.9.  

3.10.

3.11.  

3.12.  

3.13.

3.14.

3.15. 9.

3.16.  .

3.17.  .

3.18.  .

3.19. .

3.20. 4.

3.21. 3.

3.22. .

3.23. 1.  

2.  

3.24. 1.  

2.        

3.25. 1. .  

2.           

3.26. .

ДИ в полярных координатах

Примеры решения

4.1. В повторных интегралах перейти к полярным координатам:

1.

2.

► 1. Пределы интегрирования позволяют построить область  (рис. 10).

Уравнения границ  и  в полярных координатах записываются следующим образом:

 и .

Угол  меняется от  до , а  меняется от  до 2, т.е.  Тогда получаем:

2. Из условия  следует, что  − окружность с центром С (2, 0) и   (рис. 11). 

Уравнение окружности  и прямой  в полярных координатах принимает вид: .

Решая совместно уравнения , находим:

Угол  изменяется от  до . Любой луч, выходящий из полюса под углом , переcекает границу области в точках:  и . Тогда область D

Таким образом,

 ◄

4.2. Переходя к полярным координатам, вычислить ДИ:

1.  

2.

► 1. В данном случае переход к полярным координатам особенно удобен, так как область D − верхняя половина единичного круга (рис. 12). Для  полярный радиус  Поэтому, используя формулы (вычисление ДИв полярных координатах), получим:

2. В данном интеграле переход к полярным координатам удобен из-за вида области интегрирования (рис. 13).

Заметим, что уравнение луча  в полярных координатах запишется , а . Таким образом, используя формулу (вычисление ДИв полярных координатах), получим:

 ◄

4.3. Вычислить ДИ  где область D ограничена линиями  и лежит вне первой окружности.

► Сначала определим пределы изменения полярного угла  в области D, для чего решаем совместно систему из уравнений линий, ограничивающих область:

Таким образом,  (рис. 14). Полярный радиус r изменяется в области D от R до  

Следовательно,

 ◄

Аудиторные задачи

 I. В повторных интегралах перейти к полярным координатам:

4.4.  

4.5.  

4.6.

II. Переходя к полярным координатам, вычислить ДИ :

4.7.  D − первая четверть круга, радиуса                        c центром в т. О (0, 0).

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

5.2.12.

Задание на дом

4.13. В ДИ  перейти к полярным координатам                             и расставить пределы интегрирования:

1)  

2)

4.14. Вычислить ДИ:

1.

2.  

(переход к обобщённой полярной системе координат).

Ответы

4.4.

4.5.

4.6.  

4.7.       

4.8.        

4.9.

4.10. 3.    

4.11.        

4.12.

4.13. 1.      

2.  

4.14. 1.         

2.

5. Приложения ДИ